Geometria per scuola elementare/Alcune costruzioni impossibili
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Introduzione
modificaNei capitoli precedenti abbiamo incontrato un bel po' di procedimenti di costruzione. In questo capitolo elencheremo alcuni problemi per i quali non esistono costruzioni con soli riga e compasso.
I problemi furono introdotti dai Greci e fin da allora generazioni di matematici hanno provato a risolverli con costruzioni. Si è dovuti arrivare al 1882, per scoprire cje non possono esistere simili costruzioni per tali problemi.
Notiamo che i problemi non hanno soluzione se ci limitiamo a costruzioni che utilizzano solo riga e compasso. Possono invece essere risolti se si usano altri metodi o strumenti come, ad esempio, le tecniche di Origami.
Le conoscenze matematiche richieste per dimostrare l'impossibilità delle costruzioni con riga e compasso sono troppo avanzate per questo libro. Quindi ci limiteremo solo ad elencare i problemi fornendo qualche riferimento per la dimostrazione d'impossibilità nella sezione Ulteriori letture, alla fine del capitolo.
Costruzioni impossibili
modificaQuadratura del cerchio
modificaIl problema è trovare, con riga e compasso, una costruzione che, in un numero finito di passi, permette di costruire un quadrato di area uguale ad un cerchio conosciuto.
Duplicazione del cubo
modificaDuplicare un cubo significa partire da un cubo di lato s e volume V, e costruire un nuovo cubo, più grande, con volume doppio (uguale a 2V). Il nuovo lato sarà quindi di lunghezza ³√2s.
Trisezione di un angolo
modificaIl problema è trovare una costruzione che, partendo da un angolo qualsiasi, permetta di costruire, in un numero finito di passi, un nuovo angolo che sia la terza parte di quello iniziale.
Ulteriori letture
modificaLa dimostrazione di impossibilità di queste costruzioni comporta l'utilizzo di conoscenze matematiche che vanno ben al di là dello scopo di questo libro.
Chi sia interessato può usare questi link per saperne di più:
- Quattro problemi dell'antichità non hanno soluzioni sono irrisolvibili perché la loro soluzione implica la costruzione di un numero che non è un numero costruibile.
- I numeri che sarebbe necessario costruire per risolvere il problema sono definiti da queste equazioni cubiche.
Si consiglia di leggere i riferimenti in quest'ordine: