Formulario operativo essenziale di matematica e statistica/Limite di una funzione

Il limite di una funzione per $x$ che tende a $x_{0}$, indicato con $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=L$ è il punto dell'insieme di definizione a cui tende $f(x)$ quando $x$ si "avvicina" a $x_{0}$. Come esempio, si guardi la figura sotto.

Limite (finito) di una funzione

Una funzione può tendere a valori finiti o infiniti, per $x$ che tende anch'esso a valori finiti o infiniti, da sinistra (per $x\leq x_{0}$), da destra (per $x\geq x_{0}$) o senza distinzione, cioè sia da destra che da sinistra. Naturalmente se $x_{0}=+\infty$ il limite sarà sempre sinistro e viceversa.

Calcolo del valore del limite

La ricerca di $L$ varia a seconda di com'è fatta la funzione. In ogni caso, comunque, si ha che:

1. Il limite della somma di funzioni è uguale alla somma dei limiti delle singole funzioni: $\lim _{x\to x_{0}}\left(f(x)+g(x)\right)=\lim _{x\to x_{0}}f(x)+\lim _{x\to x_{0}}g(x)$
2. Il limite del prodotto (o del quoziente) di due funzioni è uguale al prodotto (o al quoziente) dei limiti delle singole funzioni: $\lim _{x\to x_{0}}\left(f(x)\cdot g(x)\right)=\lim _{x\to x_{0}}f(x)\cdot \lim _{x\to x_{0}}g(x)$
3. Il limite del prodotto di una costante per la funzione è uguale al prodotto della costante per il limite della funzione:$\lim _{x\to x_{0}}\left(cf(x)\right),c\in \mathbb {R} =c\lim _{x\to x_{0}}f(x)$

Limiti delle funzioni fondamentali

Tipologia di funzione	$\lim _{x\to 0}$	$\lim _{x\to -\infty }$	$\lim _{x\to +\infty }$	Grafico di $f(x)$
Potenza: $x^{n}$, $n$ positivo	$0$	$+\infty$ se $n$ è pari; $-\infty$ se $n$ è dispari.	$+\infty$
Funzione fratta: ${\frac {1}{x^{n}}}$, $n$ positivo	$+\infty$ se $n$ è pari. Se $n$ è dispari $+\infty$ a sinistra, $-\infty$ a destra	$0^{+}$ se $n$ è pari, $0^{-}$ se $n$ è dispari	$0^{+}$
Costante: $c,c\in \mathbb {R}$	$c$	$c$	$c$
Esponenziale: $a^{x},a>1$	$1$	$0$	$+\infty$
Logaritmo: $\ln(x)$	$-\infty$	$\nexists$	$+\infty$
$\sin(x)$, $\cos(x)$, $\tan(x)$	$0$, $1$, $0$	$\nexists$	$\nexists$

Forme indeterminate

Rapporti di polinomi

Nel caso $\lim {\frac {p(x)}{q(x)}}$ ${\frac {\infty }{\infty }}$ o ${\frac {0}{0}}$, si può tentare con la Regola di de l'Hopital:

$\lim {\frac {p(x)}{q(x)}}=\lim {\frac {p'(x)}{q'(x)}}$

sempre che $q'(x)\neq 0,\forall x$ e che tale limite esista (cioè non siano diversi tra loro quello destro e sinistro). Il procedimento è reiterabile qualora il limite trovato sia ancora in forma indeterminata.

Forme $0\cdot \infty$, $\infty ^{0},0^{\infty }$, $0^{0}$

In questi casi conviene tentare di sviluppare una serie di Taylor e trasformare la funzione di cui si vuole calcolare il limite in un polinomio (quest'ultimo molto più facile da calcolare). La funzione $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}$ rappresenta un'approssimazione polinomiale di grado $n$ della funzione $f(x)$ intorno al punto $x_{0}$. Solitamente si ricorre a Taylor per calcolare una forma indeterminata di un limite per $x\to 0$, e in tal caso la formula diventa

$\sum _{i=0}^{n}{\frac {x^{i}}{i!}}f^{i}(0)$

il cui calcolo del limite si spera sia semplice e non indeterminato. Solitamente ci si può fermare al grado 3.