Formulario operativo essenziale di matematica e statistica/Limite di una funzione

Indice del libro

Il limite di una funzione per che tende a , indicato con è il punto dell'insieme di definizione a cui tende quando si "avvicina" a . Come esempio, si guardi la figura sotto.

Limite (finito) di una funzione

Una funzione può tendere a valori finiti o infiniti, per che tende anch'esso a valori finiti o infiniti, da sinistra (per ), da destra (per ) o senza distinzione, cioè sia da destra che da sinistra. Naturalmente se il limite sarà sempre sinistro e viceversa.

Calcolo del valore del limiteModifica

La ricerca di   varia a seconda di com'è fatta la funzione. In ogni caso, comunque, si ha che:

  1. Il limite della somma di funzioni è uguale alla somma dei limiti delle singole funzioni:  
  2. Il limite del prodotto (o del quoziente) di due funzioni è uguale al prodotto (o al quoziente) dei limiti delle singole funzioni:  
  3. Il limite del prodotto di una costante per la funzione è uguale al prodotto della costante per il limite della funzione: 

Limiti delle funzioni fondamentaliModifica

Tipologia di funzione       Grafico di  
Potenza:  ,   positivo     se   è pari;   se   è dispari.    
Funzione fratta:  ,   positivo   se   è pari. Se   è dispari   a sinistra,   a destra   se   è pari,   se   è dispari    
Costante:          
Esponenziale:          
Logaritmo:          
 ,  ,    ,  ,        

Forme indeterminateModifica

Rapporti di polinomiModifica

Nel caso     o  , si può tentare con la Regola di de l'Hopital:

 

sempre che   e che tale limite esista (cioè non siano diversi tra loro quello destro e sinistro). Il procedimento è reiterabile qualora il limite trovato sia ancora in forma indeterminata.

Forme  ,  ,  Modifica

In questi casi conviene tentare di sviluppare una serie di Taylor e trasformare la funzione di cui si vuole calcolare il limite in un polinomio (quest'ultimo molto più facile da calcolare). La funzione   rappresenta un'approssimazione polinomiale di grado   della funzione   intorno al punto  . Solitamente si ricorre a Taylor per calcolare una forma indeterminata di un limite per  , e in tal caso la formula diventa

 

il cui calcolo del limite si spera sia semplice e non indeterminato. Solitamente ci si può fermare al grado 3.