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Formulario operativo essenziale di matematica e statistica/Limite di una funzione

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Indice del libro
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Formulario operativo essenziale di matematica e statistica

Copertina

Tutti i moduli · Sviluppo

Matematica elementare

  1. Operazioni con monomi e polinomi
  2. Relazioni e funzioni

Limiti e derivate

  1. Limite di una funzioneFormulario operativo essenziale di matematica e statistica/Limite di una funzione
  2. Derivata di una funzione
  3. Studio di funzione

Integrali

  1. Integrali calcolabili immediatamente
  2. Integrazione per scomposizione, per sostituzione e per partiFormulario operativo essenziale di matematica e statistica/Integrazione per scomposizione, per sostituzione e per parti

Equazioni differenziali e alle differenze

  1. Equazioni differenziali ordinarie del primo ordineFormulario operativo essenziale di matematica e statistica/Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine
  2. Equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine e superiore
  3. Equazioni alle differenze
  4. Sistemi di equazioni differenziali del primo ordine
  5. Sistemi di equazioni alle differenze

Statistica

  1. Calcolo delle probabilità
  2. Panoramica delle principali variabili casuali
  3. Verosimiglianza
  4. Stima intervallare


Appendici

Modifica il sommario


Il limite di una funzione per Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x} che tende a Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x_0} , indicato con Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=L} è il punto dell'insieme di definizione a cui tende Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle f(x)} quando Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x} si "avvicina" a Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x_0} . Come esempio, si guardi la figura sotto.

Limite (finito) di una funzione
Limite (finito) di una funzione

Una funzione può tendere a valori finiti o infiniti, per Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x} che tende anch'esso a valori finiti o infiniti, da sinistra (per Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x\leq x_0} ), da destra (per Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x\geq x_0} ) o senza distinzione, cioè sia da destra che da sinistra. Naturalmente se Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x_0=+\infty} il limite sarà sempre sinistro e viceversa.

Calcolo del valore del limiteModifica

La ricerca di Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle L} varia a seconda di com'è fatta la funzione. In ogni caso, comunque, si ha che:

  1. Il limite della somma di funzioni è uguale alla somma dei limiti delle singole funzioni: Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \lim_{x\to x_0}\left(f(x)+g(x)\right)=\lim_{x\to x_0}f(x)+\lim_{x\to x_0}g(x)}
  2. Il limite del prodotto (o del quoziente) di due funzioni è uguale al prodotto (o al quoziente) dei limiti delle singole funzioni: Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \lim_{x\to x_0}\left(f(x)\cdot g(x)\right)=\lim_{x\to x_0}f(x)\cdot \lim_{x\to x_0}g(x)}
  3. Il limite del prodotto di una costante per la funzione è uguale al prodotto della costante per il limite della funzione:Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \lim_{x\to x_0}\left(c f(x)\right),c\in \mathbb{R}=c\lim_{x\to x_0}f(x)}

Limiti delle funzioni fondamentaliModifica

Tipologia di funzione Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \lim_{x\to 0}} Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \lim_{x\to -\infty}} Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \lim_{x\to + \infty}} Grafico di Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle f(x)}
Potenza: Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x^n} , Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle n} positivo Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 0} Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle +\infty} se Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle n} è pari; Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle -\infty} se Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle n} è dispari. Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle +\infty}  
Funzione fratta: Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{1}{x^n}} , Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle n} positivo Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle +\infty} se Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle n} è pari. Se Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle n} è dispari Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle +\infty} a sinistra, Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle -\infty} a destra Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 0^+} se Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle n} è pari, Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 0^-} se Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle n} è dispari Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 0^+}  
Costante: Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle c, c \in \mathbb{R}} Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle c} Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle c} Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle c}  
Esponenziale: Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle a^x, a>1} Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 1} Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 0} Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle +\infty}  
Logaritmo: Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \ln(x)} Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle -\infty} Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \nexists} Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle +\infty}  
Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \sin(x)} , Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \cos(x)} , Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \tan(x)} Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 0} , Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 1} , Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 0} Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \nexists} Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \nexists}  

Forme indeterminateModifica

Rapporti di polinomiModifica

Nel caso Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \lim \frac{p(x)}{q(x)}} Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{\infty}{\infty}} o Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{0}{0}} , si può tentare con la Regola di de l'Hopital:

Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \lim \frac{p(x)}{q(x)} = \lim \frac{p'(x)}{q'(x)}}

sempre che Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle q'(x)\neq 0, \forall x} e che tale limite esista (cioè non siano diversi tra loro quello destro e sinistro). Il procedimento è reiterabile qualora il limite trovato sia ancora in forma indeterminata.

Forme Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 0\cdot \infty} , Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \infty^0,0^\infty} , Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 0^0} Modifica

In questi casi conviene tentare di sviluppare una serie di Taylor e trasformare la funzione di cui si vuole calcolare il limite in un polinomio (quest'ultimo molto più facile da calcolare). La funzione Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^{n}} rappresenta un'approssimazione polinomiale di grado Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle n} della funzione Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle f(x)} intorno al punto Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x_0} . Solitamente si ricorre a Taylor per calcolare una forma indeterminata di un limite per Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x\to 0} , e in tal caso la formula diventa

Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \sum_{i=0}^n \frac{x^i}{i!}f^{i}(0)}

il cui calcolo del limite si spera sia semplice e non indeterminato. Solitamente ci si può fermare al grado 3.

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