Formulario operativo essenziale di matematica e statistica/Integrazione per scomposizione, per sostituzione e per parti

Integrazione per scomposizioneModifica

Si usa quando si deve integrare un rapporto di polinomi, cioè una funzione   . L'obiettivo è trasformare la frazione in una somma di frazioni tali da essere risolvibili elementarmente.

Grado   minore di quello di  Modifica

Si ha un integrale tipo  .

  1. Trovare le radici del denominatore (che sono 2 e 4) ed esprimerlo come  ;
  2.  , cioè una somma di integrali elementari con   e   costanti opportune da trovare;
  3. Calcolare   e  , come da esempio:  , poi raccogliendo   in questo modo:  ;
  4. Siccome il coefficiente di   è 3, allora  , mentre il termine noto è  , di conseguenza  . Allora, per trovare le due costanti, risolvere il seguente sistema:  , che ha soluzioni  .
  5. Risolvere infine l'integrale equivalente  , risolvibile elementarmente[1] e pari a  . [2]

Grado   maggiore di quello di  Modifica

Risolvere  .

  1. L'obiettivo è rappresentare la frazione nella forma  , dove   è un semplice integrale di un polinomio, e la seconda frazione è riconducibile è una frazione con numeratore di grado inferiore rispetto al denominatore.
  2. Facciamo la divisione tra polinomi per trovare  , ottenendo   e  . L'integrale diventa dunque  .
  3. Il primo integrale è elementare. Il secondo è della forma  , dunque la soluzione è  
  4. Risolviamo anche il primo integrale  

Integrazione per sostituzioneModifica

Si usa per risolvere integrali della forma

 
  1. Porre   e differenziare entrambi i membri, ricavando   e poi differenziando ambo i membri  ;
  2. riscrivere l'integrale come  , sperando che sia più facile da risolvere rispetto a quello di partenza;
  3. trovata la soluzione, riscrivere tutto in funzione di  .

Integrazione per partiModifica

Per risolvere integrali della forma   si può ricorrere alla formula di integrazione per parti

 

dove   è tra le due la funzione più facile da integrare e che integrata non risulta una funzione ancora più difficile di quella di partenza, mentre   è tra le due quella facile da derivare che consente di ottenere una funzione più facile da derivare rispetto a quella di partenza.

  1. E' della forma  .
  2. Si noti che per il secondo addendo non sarebbe necessario il valore assoluto poiché  , che ha ovviamente argomento sempre positivo.