Formulario operativo essenziale di matematica e statistica/Integrazione per scomposizione, per sostituzione e per parti

Integrazione per scomposizione

Si usa quando si deve integrare un rapporto di polinomi, cioè una funzione $f(x)={\frac {P(x)}{D(x)}}$ . L'obiettivo è trasformare la frazione in una somma di frazioni tali da essere risolvibili elementarmente.

Grado $P(x)$ minore di quello di $D(x)$

Si ha un integrale tipo $\int {\frac {3x-4}{x^{2}-6x+8}}dx$.

1. Trovare le radici del denominatore (che sono 2 e 4) ed esprimerlo come $(x-2)(x-4)$;
2. $\int {\frac {3x-4}{(x-2)(x-4)}}dx=\int {\frac {a}{x-2}}+{\frac {b}{x-4}}dx$, cioè una somma di integrali elementari con $a$ e $b$ costanti opportune da trovare;
3. Calcolare $a$ e $b$, come da esempio: ${\frac {a(x-4)+b(x-2)}{(x-2)(x-4)}}={\frac {ax-4a+bx-2b}{(x-2)(x-4)}}$, poi raccogliendo $x$ in questo modo: ${\frac {x(a+b)-4a-2b}{(x-2)(x-4)}}$;
4. Siccome il coefficiente di $x^{1}$ è 3, allora $a+b=3$, mentre il termine noto è $-4$, di conseguenza $-4a-2b=-4$. Allora, per trovare le due costanti, risolvere il seguente sistema: ${\begin{cases}a+b=3\\-4a-2b=-4\end{cases}}$, che ha soluzioni ${\begin{cases}a=-1\\b=4\end{cases}}$.
5. Risolvere infine l'integrale equivalente $\int {\frac {-1}{x-2}}dx+\int {\frac {4}{x-4}}dx=-\int {\frac {1}{x-2}}dx+4\int {\frac {1}{x-4}}dx$, risolvibile elementarmente e pari a $-\ln |x-2|+4\ln |x-4|$.

Grado $P(x)$ maggiore di quello di $D(x)$

Risolvere $\int {\frac {x^{5}-3x^{4}+x+3}{x^{2}-1}}dx$.

1. L'obiettivo è rappresentare la frazione nella forma ${\frac {Q(x)D(x)+R(x)}{D(x)}}={\frac {Q(x)D(x)}{D(x)}}+{\frac {R(x)}{D(x)}}=Q(x)+{\frac {R(x)}{D(x)}}$, dove $Q(x)$ è un semplice integrale di un polinomio, e la seconda frazione è riconducibile è una frazione con numeratore di grado inferiore rispetto al denominatore.
2. Facciamo la divisione tra polinomi per trovare $Q(x)$, ottenendo $Q(x)=x^{3}-3x^{2}+x-3$ e $R(x)=2x$. L'integrale diventa dunque $\int x^{3}-3x^{2}+x-3dx+2\int {\frac {x}{x^{2}-1}}dx$.
3. Il primo integrale è elementare. Il secondo è della forma ${\frac {f'(x)}{f(x)}}$, dunque la soluzione è $\ln(x^{2}-1)$
4. Risolviamo anche il primo integrale $\int x^{3}-3x^{2}+x-3dx+\ln(x^{2}-1)={\frac {x^{4}}{4}}-x^{3}+{\frac {x^{2}}{2}}-3x+\ln(x^{2}-1)$

Integrazione per sostituzione

Si usa per risolvere integrali della forma

$\int g\left(f(x)\right)dx$

1. Porre $f(x)=u$ e differenziare entrambi i membri, ricavando $x=\mu (u)$ e poi differenziando ambo i membri $dx=\mu '(u)du$;
2. riscrivere l'integrale come $\int g(u)\mu '(u)du$, sperando che sia più facile da risolvere rispetto a quello di partenza;
3. trovata la soluzione, riscrivere tutto in funzione di $x$.

Integrazione per parti

Per risolvere integrali della forma $\int f(x)g(x)dx$ si può ricorrere alla formula di integrazione per parti

$\int f(x)g(x)dx=\int \Phi (x)dx\Gamma (x)-\int \left(\int \Phi (x)\Gamma '(x)dx\right)dx$

dove $\Phi (x)$ è tra le due la funzione più facile da integrare e che integrata non risulta una funzione ancora più difficile di quella di partenza, mentre $\Gamma (x)$ è tra le due quella facile da derivare che consente di ottenere una funzione più facile da derivare rispetto a quella di partenza.