Formulario operativo essenziale di matematica e statistica/Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine

Lineari del primo ordine

Sono equazioni del tipo $y'(t)+a(t)y(t)=b(t)$ che hanno le seguenti soluzioni:

1. $y(t)=e^{-\int a(t)dt}\left(c+\int \left(b(t)e^{\int a(t)dt}\right)dt\right)$, nel caso della soluzione generale;
2. $y(t)=e^{-\int _{t_{0}}^{t}a(s)ds}\left(t_{0}+\int _{t_{0}}^{t}\left(b(s)e^{\int _{t_{0}}^{t}a(r)dr}\right)ds\right)$, nel caso di un problema di Cauchy con $y(t_{0})$.

Lineari a variabili separabili

Sono equazioni differenziali del tipo $y'(t)=a\left(y(t)\right)b(t)$, risolvibili con i seguenti passaggi:

1. trovare i punti per cui $a\left(y(t)\right)=0$, che sono i punti stazionari;
2. escludendo i punti stazionari, abbiamo $\int {\frac {y'(t)}{a\left(y(t)\right)}}dt=\int b(t)dt$;
3. chiamiamo $z=y(t)$ e di conseguenza $dz=y'(t)dt$ da cui $\int {\frac {1}{a\left(z\right)}}dz=\int b(t)dt$
4. risolvere gli integrali e riportare in $t$ ciò che è in $z$.