Un vettore tangente alla varietà è possibile definirlo in tre modi differenti ed equivalenti.
Prese due curve qualsiasi
e
introduciamo la seguente relazione di equivalenza:
- Definizione 1
- Un vettore tangente in
è una classe di equivalenza
di curve basate in
, cioè una classe di equivalenza tale che ![{\displaystyle \forall \gamma '\in [\gamma ],\gamma '(0)=p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccf54f283a9422f6aace191e0d74cfa98116c0e4)
- Definizione 2
- Un vettore tangente in
è una derivazione sulle funzioni differenziabili:
![{\displaystyle v:{\mathfrak {F}}(M)\rightarrow {\mathfrak {F}}(M):f\rightarrow v(f)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63f082bd1bf31d191620babaab2a6a95c9ca2f6e)
- lineare che soddisfa la regola di Leibniz, cioè
:
![{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}v(f+g)=v(f)+v(g)\\v(fg)=v(f)g(p)+f(p)v(g)\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5f2c13901b8714551349f8bf1abe6564540623e)
- Definizione 3
- Un vettore tangente nel punto
è una classe di equivalenza di terne
, dove
è una carta locale, rispetto alla relazione di equivalenza:
![{\displaystyle (U,x^{i},v^{i})\sim (U',x'^{i'},v'^{v'})\leftrightarrow v'^{i'}=\left({\frac {\partial x'^{i'}}{\partial x^{i}}}\right)_{p}v^{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58521f7cf2620ff6514f8e6d1e821ee0d5493b79)