Sia
una varietà. Si può definire un vettore tangente ad
in tre modi differenti. Si può provare che queste definizioni sono tra loro equivalenti.
Prese due curve qualsiasi
e
introduciamo la seguente relazione di equivalenza:
- Definizione 1
- Un vettore tangente in
è una classe di equivalenza
di curve basate in
, cioè una classe di equivalenza tale che ![{\displaystyle \forall \gamma '\in [\gamma ],\gamma '(0)=p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccf54f283a9422f6aace191e0d74cfa98116c0e4)
- Definizione 2
- Un vettore tangente in
è una derivazione sulle funzioni differenziabili:

- lineare che soddisfa la regola di Leibniz, cioè
:

- Definizione 3
- Un vettore tangente nel punto
è una classe di equivalenza di terne
, dove
è una carta locale, rispetto alla relazione di equivalenza:
