Fisica matematica/Varietà differenziabili

IntroduzioneModifica

Sul concetto di varietà differenziabile si basa lo sviluppo della fisica classica e della geometria differenziale. L'idea di base è quella di avere degli oggetti geometrici che localmente siano simili ad  , pur essendo diversi da un punto di vista più globale.

Prima di introdurre tale concetto introduciamo alcune nozioni preliminari.

Definizione (varietà differenziabile)Modifica

Definizione (spazio di Hausdorff): uno spazio di Hausdorff è uno spazio topologico   tale che   esistono   e   intorni dei due punti tali che  

Ora possiamo introdurre il concetto di varietà:

Definizione (varietà differenziabile): una varietà differenziabile (differentiable manifold) è uno spazio topologico di Hausdorff   avente una collezione  , chiamate carte, dove   aperti e le   tali che:

 

e preso   allora   è un diffeomorfismo di  .

Una volta definito le varietà differenziabili vediamo le funzioni: sia   una funzione, è possibile definire un rappresentante locale di  :

 . La funzione è detta di classe   se il suo rappresentante è differenziabile r volte. L'insieme delle funzioni   si indica con   e si può dimostrare che forma un anello abeliano grazie alle seguenti operazioni:

somma di funzioni   prodotto di funzioni  

si vede subito la proprietà distributiva e associativa.


EsempiModifica

 
Proiezione stereografica della sfera

La sfera è uno degli esempi più facili da visualizzare. Il modo più semplice di ricoprire la sfera è quello di costruire delle carte, quattro delle quali servono a mappare i quattro quadranti e le rimanenti due servono a mappare l'equatore e un meridiano (che corrispondono ai punti in cui le carte sono adiacenti).

Utilizzando la proiezione stereografica si può mappare la sfera su un piano e in questo caso bastano solo due carte. Non si può mappare la sfera con una sola mappa, servono sempre almeno due carte.

Un altro esempio di varietà differenziabile è il toro.

Chiaramente non tutte le varietà sono differenziabili, per esempio il cono con la struttura topologica di   non è una varietà differenziabile a causa della singolarità nell'origine. Esistono altre costruzioni che rendono anche il cono varietà differenziabile.

Definizione (varietà topologica)Modifica

Le varietà topologiche non sono varietà differenziabili ma cito la definizione per completezza.

Le varietà topologiche sono definite come le varietà differenziabili ma non richiedono che le funzioni di transizioni siano differenziabili. Risulta ovvio che qualsiasi varietà differenziabile è anche topologica, mentre non vale il viceversa.

Definizione alternativaModifica

La definizione di varietà differenziabile data è abbastanza astratta, si può pensare di dare una definizione più concreta che si basa sulle funzioni di transizioni e su come si possono incollare le toppe della varietà.