Elettrotecnica/Condensatori

Il caso più importante dal punto di vista pratico è quello relativo al sistema costituito da due soli conduttori; tale sistema prende il nome di condensatore. Consideriamo il caso semplice (benché importante nella pratica) di condensatore piano costituito da due superfici piane, cariche rispettivamente con densità superficiale +σ e-σ poste a distanza infinitesima.

Consideriamo, analogamente a quanto abbiamo fatto parlando del vettore D, una superficie chiusa di forma cilindrica avente come basi due elementi infinitesimi dS paralleli ad una delle superfici del condensatore e giacenti da parti opposte di questa ed avente come superficie laterale il tubo di forza tangente alle dS.

Il flusso del vettore D attraverso la superficie chiusa considerata è uguale, come abbiamo visto in precedenza, alla carica contenuta nella superficie chiusa:

$\ D_{1}\ dS+D_{2}\ dS=\sigma \ dS$

Data la simmetria del sistema D₁ e D₂ sono di valore uguale ma di verso opposto; si può scrivere perciò:

$\ |D_{1}|=|D_{2}|={\sigma \over 2}\qquad |E_{1}|=|E_{2}|={1 \over 2}{\sigma \over \epsilon _{0}}$

Analogo ragionamento può essere fatto per l'altra superficie piana del condensatore.

Il campo elettrico E nell'interno del condensatore è uguale alla somma dei campi dovuti alle superfici cariche con uguale densità σ ma con segno diverso, quindi si ha:

$\ E={1 \over 2}{\sigma \over \epsilon _{0}}+{1 \over 2}{\sigma \over \epsilon _{0}}={\sigma \over \epsilon _{0}}$

All'esterno del condensatore il campo elettrico è nullo. Infatti, ogni carica elementare +σ dS posta su una delle superfici del condensatore viene neutralizzata dalla carica -σ dS posta sull'altra superficie del condensatore a distanza infinitesima Δ dalla prima.

Le relazioni che legano i potenziali alle cariche in un sistema di conduttori diventano nel nostro caso di condensatore piano con armature di superficie S, poste a distanza infinitesima Δ (o comunque molto piccola rispetto ad S), e cariche rispettivamente con q₁=+σ S=+q, q₂=-σ S=-q :

$\ \left\{{\begin{matrix}a_{11}q-a_{12}q=U_{1}\\a_{21}q-a_{22}q=U_{2}\end{matrix}}\right.$

da cui si ottiene:

$\ U_{2}-U_{1}=(a_{12}+a_{21}-a_{11}-a_{22})q={q \over C}$

dove con C, costante di proporzionalità tra q e (U₂-U₁), si è indicata la capacità del condensatore.

La differenza di potenziale (U₂-U₁) si ricava integrando l'espressione del campo elettrico ricavata prima:

$\ U_{2}-U_{1}=\int _{0}^{\Delta }{\sigma \over \epsilon _{0}}ds={\sigma \Delta \over \epsilon _{0}}$

perciò la capacita C assume il valore:

$\ {q \over {U_{2}-U_{1}}}={\sigma S \over \sigma {\Delta \over \epsilon _{0}}}=\epsilon _{0}{S\ \over \Delta }\qquad (farad)$

Vediamo, infine, di calcolare il lavoro che si deve eseguire per stabilire una differenza di potenziale (U₂-U₁) fra le armature di un condensatore. Per fare ciò si devono togliere le cariche positive da una armatura e trasferirle sull'altra.

Indichiamo con dq la carica infinitesima e con (U_2-U_1) la differenza di potenziale raggiunta ad un certo istante.

Il lavoro fatto per trasportare la carica dq da un punto a potenziale U_2 ad un altro a potenziale U_1 è:

$\ dL=(U_{2}-U_{1})dq=Udq$

e quindi:

$\ L=\int _{0}^{Q}Udq=\int _{0}^{Q}{q \over C}dq={1 \over 2}{q^{2} \over C}$}

Questo lavoro viene immagazzinato sotto forma di energia potenziale elettrostatica entro il campo elettrico generato dalle cariche elettriche sulle armature. Se le armature sono a distanza infinitesima, il campo è diverso da zero (e costante) solo tra le armature stesse, perciò l'energia specifica per unità di volume è:

$\ W={{1 \over 2}{Q^{2} \over C} \over S\Delta }$

Tale relazione si può scrivere semplicemente, ricordando che è

$\ Q=\sigma S,\qquad \sigma =D=\epsilon _{0}E,\qquad Q=(U_{2}-U_{1})C$

$\ \Delta E=U_{2}-U_{1}$

$\ W={1 \over 2}\epsilon _{0}E^{2}={1 \over 2}ED\quad {Joule \over m^{3}}$

che rappresenta l'energia dovuta ad un campo elettrostatico contenuta nell'unità di volume.