Elettrotecnica/Campo elettrostatico

La legge di Coulomb stabilisce quantitativamente quale è la legge della forza con cui due cariche elettriche, o praticamente due corpi carichi di elettricità, si attraggono o si respingono.

Tale legge è stata ricavata sperimentalmente misurandola forza di repulsione tra due sferette metalliche cariche di elettricità dello stesso segno. La legge di Coulomb è valida solo per corpi carichi di piccole dimensioni rispetto alla loro distanza, al limite per cariche puntiformi:

$F={1 \over 4\pi \epsilon _{0}}{qq' \over r^{2}}$

dove F è la forza misurata in newton (sistema MKQS), q e q' sono le cariche dei due corpi misurate in Coulomb, r è la distanza tra i due corpi ed ε è una costante chiamata costante dielettrica del vuoto.

Vediamo ora, quale è l'origine di queste forze. Quando si carica, per esempio, una sferetta di elettricità si genera in tutto lo spazio circostante un nuovo stato di cose che viene chiamato campo elettrostatico.

Ogni altra carica immersa in questo campo elettrico è soggetta ad una forza che dipende dal particolare valore del campo elettrico nel punto stesso ove è situata la carica.

Si definisce come intensità del campo elettrostatico il rapporto tra la forza a cui è soggetta una carica q' e la carica stessa. Pertanto l'intensità del campo elettrostatico, indicata con E, è la forza a cui è assoggetta una carica unitaria, posta nel punto ove si calcola il campo elettrico.

Nel caso che il campo elettrico sia dovuto ad una sola carica puntiforme q, l'intensità E del campo sarà perciò:

$E={1 \over 4\pi \epsilon _{0}}{q \over r^{2}}$

tale relazione da il modulo del vettore E. La sua direzione, ovviamente, è quella della retta congiungente la carica inducente il campo q ed il punto ove il campo viene calcolato (distante r da q).

La forza che tale campo elettrostatico esercita su una carica q' è:

$\ F=Eq'$

Calcoliamo ora quale è il lavoro compiuto dalla forza F quando la carica q' unitaria si muove nel campo elettrico di un tratto dl. Si ha notoriamente:

$\ dL=Fcos[\theta ]dl=Ecos[\theta ]dl$

dove θ è l'angolo formato tra la direzione del campo elettrostatico e la direzione dello spostamento elementare dl.

Se lo spostamento è finito tra due punti P₁ e P₂ il lavoro totale è:

$\ L=\int _{P_{1}}^{P_{2}}Ecos[\theta ]\,dl$

float

Nel caso di campo elettrico dovuto ad una carica concentrata q il lavoro compiuto dal campo elettrico nello spostamento della carica unitaria da P₁ a P₂ si ottiene sostituendo nella espressione del lavoro il valore ricavato in precedenza per E. Nel calcolo dell'integrale, si deve notare che cos(θ)dl è uguale all'elemento infinitesimo di distanza tra carica inducente q e carica unitaria e che i limiti dell'integrale, dopo aver effettuata tale sostituzione, sono r₁ e r₂, rispettivamente distanze tra carica q e i due punti P₁ e P₂:

$\ L=\int _{P_{1}}^{P_{2}}{1 \over 4\pi \epsilon _{0}}{q \over r^{2}}cos[\theta ]dl=\int _{r_{1}}^{r_{2}}{1 \over 4\pi \epsilon _{0}}{q \over r^{2}}dr={q \over 4\pi \epsilon _{0}}({1 \over r_{1}}-{1 \over r_{2}})=U(r_{1})-U(r_{2})$

dove:

$\ U(r)={1 \over 4\pi \epsilon _{0}}{q \over r}+C$

è l'integrale indefinito della espressione precedente cambiato di segno. La funzioneU(r) è una funzione scalare che derivata rispetto ad r e cambiata di segno da l'intensità del campo elettrico E. La funzione U(r) si chiama potenziale elettrostatico. La conoscenza di tale grandezza scalare permette di determinare il campo elettrico sulla carica unitaria secondo le relazioni date.

La funzione U(r) è definita a meno di una costante C arbitraria, tuttavia nella pratica la costante non ha importanza in quanto si considerano sempre differenze di potenziale.

Nel sistema MKQS, l'unità di misura del potenziale è il Volt= 1 Joule/1 Coulomb, l'intensità del campo elettrico si misura perciò in Volt/metro.

Se esistono più cariche inducenti si dimostra facilmente che il potenziale totale èp la somma dei potenziali parziali:

$\ U=\sum _{i}^{}{1 \over 4\pi \epsilon _{0}}{q_{i} \over r_{i}}$.

Nel caso che le cariche siano distribuite in modo continuo su una superficie o entro un volume si definiscono rispettivamente la densità superficiale di carica σ=dq/dSup, e la densità cubica di carica δ=dq/dVol.

Nei due casi, il potenziale totale dovuto alla distribuzione continua di cariche è dato dalla somma di infiniti potenziali infinitesimi (integrale) dovuti rispettivamente alla carica contenuta in un elemento infinitesimo di di superficie (dq=σ dSup) o in un elemento infinitesimo di volume (dq=δ dVol).

Per rappresentare graficamente l'andamento del campo elettrostatico generato da una o più cariche si ricorre ai concetti di linee di forza e superfici equipotenziali. Si definiscono come linee di forza quelle curve aventi la proprietà che in ogni punto la tangente alla curva dà la direzione del campo elettrico E. Per ogni punto dello spazio (tranne nei punti ove vi sono cariche) passa una e una sola linea di forza. Si definiscono, invece, come superfici equipotenziali quelle superfici nelle quali il potenziale U ha valore costante. Queste superfici sono in ogni punto normali alla direzione del campo elettrico. Ne segue, perciò, che allo spostarsi di una carica su una superficie equipotenziale il campo produce lavoro nullo.

Mettiamo ora in evidenza una proprietà del campo elettrico. Vogliamo trovare, cioè, qual è il valore del flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa (Teorema di Gauss).

Come flusso del campo elettrico attraverso una superficie S s'intende il valore dell'integrale:

$\ \Phi _{s}(E)=\int _{s}^{}Ecos[\theta ]ds$

dove con θ si è indicato l'angolo tra la direzione del campo E e la direzione della normale all'elemento infinitesimo di superficie dS.

Nel caso di una superficie chiusa contenente una carica puntiforme sostituendo ad E il valore ricavato in precedenza e scrivendo dS in funzione dell'angolo solido sotto cui tale superficie elementare è vista dal punto in cui è concentrata la carica, calcolando l'integrale :

$\ \int _{s}{}E\ cos[\theta ]\ ds\qquad \ si\ ottiene\ \Phi _{s}(E)={q \over q_{0}}$

qualunque sia la forma della superficie racchiudente la carica.

Se le cariche che generano il campo sono distribuite nello spazio con densità δ il flusso totale attraverso S si ottiene sommando i flussi elementari dovuti alle sole cariche elementari contenute entro la superficie S.

Un altro fenomeno interessante dei campi elettrostatici (dovuti, cioè, a cariche in quiete) è quello per cui le cariche si distribuiscono sulla superficie dei conduttori. Per giungere a questa affermazione si fa uso del teorema di Gauss e del fatto che affinché le cariche rimangano in quiete è necessario che all'interno del conduttore che le possiede sia nullo il campo elettrico, o ciò che è lo stesso, sia costante il potenziale (potenziale del corpo). Scelta, infatti, una superficie chiusa interna al conduttore, in questa è nullo in ogni punto il campo elettrico e quindi il flusso relativo; per il teorema di Gauss, perciò, deve essere nulla la carica contenuta entro la superficie. Il ragionamento può essere ripetuto per qualsiasi superficie interna, per cui si può concludere che se il corpo possiede delle cariche elettrostatiche queste potranno trovarsi solo sulla superficie.

Introduciamo ora un nuovo vettore chiamato induzione elettrostatica o spostamento elettrico (D). Tale vettore è diretto come il campo elettrostatico E ed ha il valore

$\ D=\epsilon _{0}\ E$.

La proprietà fondamentale dell'induzione elettrica si ottiene calcolando il flusso attraverso una superficie S intorno ad una carica. Dalla relazione che da il flusso del campo elettrico:

$\ \Phi _{s}(E)={q \over \epsilon _{0}}\qquad \ si\ ricava\ immediatamente,\ \Phi _{s}(D)=q$

Ora consideriamo un conduttore sulla superficie del quale sia distribuita una carica con densita σ. Calcoliamo il flusso del vettoreD attraverso una superficie chiusa costituita da due superfici elementari dS, una interna e l'altra esterna al conduttore e a distanza infinitesima dalla superficie del conduttore stesso. Superficie ovvero costituita dal tubo di forza tangente alla superficie dS.

Attraverso la superficie interna dS il flusso di D è nullo in quanto all'interno del conduttore il campo elettrico ($\ E={D \over \epsilon _{0}}$) è nullo. Attraverso la parete laterale del tubo di forza non vi è flusso uscente in quanto E, e quindi D, è parallelo alla superficie stessa. Pertanto, il flusso di D attraverso la superficie chiusa considerata, si riduce al flusso di D attraverso la superficie elementaredS esterna (la superficie chiusa contiene la carica σ dS): si calcola semplicemente per mezzo della relazione prima trovata ($\ \Phi _{s}(D)=q$).

$\ DdS=\sigma dS$.

Perciò, concludendo, il vettore $\ D=\epsilon _{0}E$ è un vettore parallelo a E il cui modulo in un punto infinitamente vicino alla superficie di un conduttore è uguale alla densità superficiale di carica nel punto considerato

$\ D=\sigma \qquad \ ({Coulomb \over m^{2}})$.