Calcoli scientifici con Julia/Mutui e prestiti

Trattazione matematica

Al tempo t=0 viene erogato un mutuo d'importo $M_{0}$ . Tale somma viene restituita con rate costanti di importo R pagate a partire dal tempo t=1 pertanto se si considera l'anno come unità di misura allora R è la rata annuale (conoscendo la rata mensile basta moltiplicarla per 12).

Indicando con r il tasso di interesse costante con il quale viene calcolato l'interesse su debito residuo $M_{t}$ si ha che:

$\ M_{t+1}=M_{t}+rM_{t}-R=(1+r)M_{t}-R$

Calcolando $M_{1}$ cioè il mutuo dopo 1 anno si ha:

$\ M_{1}=(1+r)M_{0}-R$

Calcolando $M_{2}$ cioè il mutuo dopo 2 anni si ha:

$\ M_{2}=(1+r)M_{1}-R=(1+r)^{2}M_{0}-R(1+r)-R$

Calcolando $M_{3}$ cioè il mutuo dopo 3 anni si ha:

$\ M_{3}=(1+r)M_{2}-R=(1+r)^{3}M_{0}-R(1+r)^{2}-R(1+r)-R$

Pertanto il mutuo al tempo t sarà:

$\ M_{t}=(1+r)M_{t-1}-R=(1+r)^{t}M_{0}-R(1+r)^{t-1}-....-R(1+r)^{2}-R(1+r)-R$

Posto:

$\ S_{t}=:-R(1+r)^{t-1}-....-R(1+r)^{2}-R(1+r)-R$

Riscriviamo $M_{t}$ come:

$\ M_{t}=(1+r)^{t}M_{0}+S_{t}$

Moltiplicando ambo i membri dell'equazione $S_{t}$ per $-(1+r)$ si ha:

$\ -(1+r)S_{t}=R(1+r)^{t}+....+R(1+r)^{3}+R(1+r)^{2}+R(1+r)$

Sommando membro a membro le 2 equazioni si ottiene:

$\ S_{t}-(1+r)S_{t}=R(1+r)^{t}-R$

Da cui si ricava:

$\ S_{t}=-{\dfrac {R}{r}}\left((1+r)^{t}-1\right)$

Allora il mutuo al tempo t risulta uguale a:

$\ M_{t}=(1+r)^{t}M_{0}+S_{t}=(1+r)^{t}\left(M_{0}-{\dfrac {R}{r}}\right)+{\dfrac {R}{r}}$

Considerando la successione $M_{t}$ continua se ne può calcolare la derivata per vedere quando è crescente o decrescente. Pertanto risulta:

$\ {\dfrac {d(M(t))}{dt}}=(1+r)^{t}log(1+r)\left(M_{0}-{\dfrac {R}{r}}\right)$

per cui la derivata è positiva e la funzione è crescente per $R<=M_{0}r$ e quindi in tal caso il mutuo non si estinguerebbe mai, mentre per $R>M_{0}r$ la derivata è negativa, la funzione è decrescente per cui dopo un certo tempo il mutuo si estingue.

Volendo calcolare dopo quanto tempo il mutuo si estingue bisogna imporre la condizione:

$M_{t}=(1+r)^{t}\left(M_{0}-{\dfrac {R}{r}}\right)+{\dfrac {R}{r}}=0$

da cui si ottiene l'equazione esponenziale:

$(1+r)^{t_{*}}=\left({\dfrac {R}{R-M_{0}r}}\right)$

pertanto passando ai logaritmi si ottiene che il tempo $t_{*}$ in corrispondenza del quale il mutuo si estingue è:

$t_{*}={\dfrac {\log \left({\dfrac {R}{R-M_{0}r}}\right)}{\log(1+r)}}$

mentre la rata annuale per estinguere il mutuo in un tempo annuale $t_{*}$ al tasso di interesse r è:

$R={\frac {{M_{0}}r\,{{\left(r+1\right)}^{t_{*}}}}{{{\left(r+1\right)}^{t_{*}}}-1}}$

Esempio di calcolo con Julia

Calcolare la rata mensile di un mutuo di 100.000€ al tasso del 2% in 20 anni. Si ottiene una rata mensile di 505,88€ :

function rata_di_un_mutuo_o_prestito() 
           M=100000;
           t=20*12;
           r=0.02/12;
           print("La rata mensile di un mutuo o prestito di $M € in 20 anni con un tasso di interesse del 2% è:")
           println((M*r*(1+r)^t) /((1+r)^t-1))
        end

rata_di_un_mutuo_o_prestito()

La rata mensile di un mutuo o prestito di 100000 € in 20 anni con un tasso di interesse del 2% è:505.8833350451077

Calcolare gli anni necessari affinché un mutuo di 136.000€ al tasso del 3,5% con una rata mensile di 616€ si estingua. Si ottiene un tempo di 30 anni:

function tempo_di_estinzione_mutuo_o_prestito() 
           M=136000;
           R=616*12;
           r=0.035;
           print("Un mutuo o prestito di $M € con un tasso di interesse del 3,5% e una rata mensile di 616€ si estingue in anni:")
           println(log(R/(R-M*r))/log(1+r))
        end

tempo_di_estinzione_mutuo_o_prestito()

Un mutuo o prestito di 136000 € con un tasso di interesse del 3,5% e una rata mensile di 616€ si estingue in anni:30.017775988227683

Volendo infine calcolare il tasso di interesse annuo di un mutuo di 136.000€ con una rata mensile di 616€ per 30 anni, utilizzando la libreria Roots si ottiene un tasso pari a r=0,035 = 3,5%:

using Roots
M=136000;
R=616*12;
t=30;
y(r)=-R +(M*r*(1+r)^t) /((1+r)^t-1);
find_zero(y,0.1)

0.034973001159437175