Analisi vettoriale/Flusso di un vettore attraverso una superficie

Se è dato il campo di uno scalare differenziabile $\phi (\mathbf {R} )$, allora è pure dato il campo delle derivate di tale scalare rispetto alle differenti e arbitrarie direzioni in questo. Abbiamo visto che il campo del vettore $grad\ \phi$ è una caratteristica invariante (cioè, che non dipende dalla scelta del sistema di coordinate) del campo delle derivate. Ora è nostra intenzione stabilire le caratteristiche invarianti del campo delle derivate spaziali del vettore arbitrario $\mathbf {a} (\mathbf {R} )$. A queste caratteristiche si perviene naturalmente col considerare gli integrali di superficie e di linea del vettore $\mathbf {a}$. Iniziamo con lo studiare gli integrali di superficie.

Nel campo di un vettore casuale separiamo mentalmente un elemento di superficie di area molto piccola $dS$, cioè un elemento di superficie che sia così piccolo che in tutti i suoi punti il vettore rimanga invariato sia in modulo che in direzione. Tracciamo una normale a questo elemento e poniamo che una delle direzioni di questa normale $\mathbf {n}$ sia positiva, o rivolta verso l'esterno, e l'altra sia negativa, o rivolta verso l'interno. Se viene data la direzione di percorrenza del perimetro dell'elemento di superficie, allora si dovrà scegliere la direzione della normale positiva tale che essa formi con il perimetro un sistema destrorso. Ciò significa che se avvitiamo una vite con il passo destro nella direzione data per percorrere il perimetro, allora la punta della vite si sposta lungo la normale positiva. Per contro, se ci è data la direzione della normale esterna, allora si dovrà scegliere la direzione di percorrenza del perimetro dell'elemento di superficie.

Infine, se la direzione di spostamento lungo il perimetro e la direzione di una normale al proprio piano sono l'un l'altro dati indipendentemente, allora si dirà per brevità che la direzione di spostamento e quella della normale formano un sistema destrorso se esse soddisfano alla condizione menzionata, e sistema sinistrorso se non la soddisfano.

La direzione della normale viene contraddistinta da un vettore unitario $\mathbf {n}$ coincidente con direzione medesima.

Con flusso del vettore $\mathbf {a}$ attraverso un elemento di superficie infinitamente piccolo $dS$ si intende la quantità

$dN=\mathbf {an} \ dS=a\ cos(\mathbf {a,n} )\ dS=a_{n}\ dS\ \ \ \ (E.12)$

$dove\ \mathbf {a} =valore\ del\ vettore\ su\ dS\ elemento\ di\ area$

$a_{n}=la\ sua\ componente\ lungo\ la\ direzione\ di\ \mathbf {n}$.

È stato scelto un elemento di superficie $dS$ di area infinitamente piccola, in modo da assicurare che il vettore $\mathbf {a}$ abbia un valore certo su questo elemento.

Per determinare il flusso del vettore attraverso una superficie che abbia una dimensione finita, si deve dividerla in elementi di superficie $dS$ di area infinitamente piccola, in modo che non soltanto il vettore $\mathbf {a}$ possa rimanere costante su ciascun elemento, ma anche gli stessi elementi di superficie possano essere considerati piani.

Chiamiamo uno dei lati della superficie S lato interno e l'altro esterno, e conseguentemente scegliere la direzione delle normali esterne di ciascun elemento $dS$. Il flusso N del vettore $\mathbf {a}$ attraverso la superficie S è la somma algebrica dei flussi $a_{n}\ dS$ attraverso gli elementi distinti di questa superficie. Questa operazione è identica alla determinazione dell'integrale di superficie definito

$N=\int \int _{S}a_{n}dS$.

Il termine flusso di campo vettoriale dato alla quantità N è stato mutuato dalla idrodinamica. Quest'ultima studia il campo vettoriale della velocità dei liquidi: in ogni dato momento un valore definito del vettore $\mathbf {V}$ è associato a ciascun punto dello spazio riempito con un fluido, precisamente, il valore di quella velocità che il liquido possiede in quel punto. Il flusso del vettore velocità del fluido attraverso l'elemento di superficie di area $dS$, è:

$dN=v_{n}\ dS$

non è niente altro che il volume del liquido che fluisce attraverso detto elemento nell' unità di tempo nella direzione della normale esterna a $dS$. Invero, durante una unità di tempo ciascun elemento del liquido si muove sulla distanza V: quindi, tutte le particelle del liquido e soltanto quelle che all'inizio dell'intervallo unitario di tempo che viene considerato occupavano il volume del cilindro di base $dS$e generatrice V attraverseranno l'elemento superficiale $dS$. Il volume di questo cilindro è $v_{n}\ dS$ se $v_{n}>0$. Quando i vettori $\mathbf {v}$ e $\mathbf {n}$ formano un angolo ottuso, allora $v_{n}<0$, ed il flusso idrico è negativo. Ciò significa che il liquido fluisce attraverso $dS$ in direzione opposta a quella della normale $\mathbf {n}$ esterna.

Il flusso di un liquido attraverso una superficie finita S ovviamente uguaglia il flusso del vettore $\mathbf {V}$ velocità attraverso questa superficie:

$\int _{s}v_{n}\ dS$

Sovente è necessario calcolare il flusso di un vettore attraverso una superficie chiusa (la superficie di una sfera, di un cubo, etc.). Quando si calcola l'integrale su una superficie chiusa si deve segnalare tale circostanza impiegando un cerchio sul simbolo di integrazione cosicché, il flusso di un liquido attraverso una superficie S chiusa verrà scritto come segue:

$N=\oint _{s}v_{n}\ dS$

Questo flusso è evidentemente uguale alla quantità di liquido che defluire dal volume circoscritto dalla superficie S chiusa nell'unità di tempo.

Se $N<0$, ciò significa che è più il liquido che entra di quello che esce.