Analisi vettoriale/Campi scalare e vettoriale: gradiente

1. Con campo vettoriale o scalare si intende una regione di spazio a ciascun punto del quale il valore di un certo vettore o scalare è connesso. Poiché ciascun punto di un campo è determinato con il suo raggio-vettore R, la impostazione di un campo scalare o vettoriale è equivalente alla impostazione di una funzione scalare $\phi {\mathbf {R} }$ o, corrispondentemente, una funzione vettoriale $\mathbf {a} (\mathbf {R} )$. Le funzioni $\phi {\mathbf {R} }$ e $\mathbf {a} (\mathbf {R} )$ possono naturalmente pure dipendere, a parte $\mathbf {R}$, da argomenti scalari quali il tempo. Le funzioni $\phi {\mathbf {R} }$ e $\mathbf {a} (\mathbf {R} )$ verranno considerate continue e differenziabili rispetto a tutti i loro argomenti.

Consideriamo un campo scalare della funzione $\phi (\mathbf {} R)=\phi (x,y,z)$. Tali campi comprendono, per esempio, il campo della temperatura di un corpo non riscaldato uniformemente ($\phi =T$), il campo della densità di un corpo non omogeneo ($\phi =\tau$), e il campo di un potenziale elettrostatico.

2. Assumiamo che lo scalare $\phi$ abbia il valore $\phi _{0}$ nel punto $P$ e che a seguito dello spostamento $d\mathbf {s}$ nella direzione del vettore $\mathbf {s}$ si giunga dal punto $\mathbf {P_{0}}$ al punto $\mathbf {P}$ dove lo scalare $\phi$ ha il valore $\phi _{s}$. L'incremento di $\phi$ conseguente a questo spostamento uguaglia $d\phi =\phi _{s}-\phi _{0}$. Il limite del rapporto tra questo incremento $d\phi$ ed il valore assoluto $ds$ dello spostamento viene denotato con ${\delta \phi \over ds}$ e viene denominato la derivata dello scalare $\phi$ nel punto $P_{0}$ nella direzione di $\mathbf {s}$:

${\delta \phi \over ds}=\lim _{ds\to 0}{\phi _{s}-\phi _{0} \over ds}\ \ \ \ (E.1)$

È evidente che il valore di questa derivata dipende notevolmente dalla scelta della direzione di $\mathbf {s}$ e che non dovrà mai venire confusa con la derivata parziale convenzionale rispetto al parametro scalare s.

3. Per studiare come la derivata $d\phi =\phi _{s}-\phi _{0}$ dipenda dalla direzione del differenziale di $\mathbf {s}$ consideriamo i punti del campo in cui $\phi$ ha il medesimo valore, uguale, per esempio a $\phi _{0}$. La combinazione di questi punti, genericamente parlando, forma una superficie denominata superficie di livello o equipotenziale. Analiticamente, tale superficie è caratterizzata dalla equazione

$\phi (x,y,z)=\phi _{0}$

La figura mostra una sezione con il piano del disegno di un numero di superfici di livello o equipotenziali corrispondenti ai valori dello scalare $\phi$ uguali a $\phi _{0},\phi _{0}\pm \Delta \phi ,\phi _{0}\pm 2\Delta \phi$, etc. Nel campo di una carica puntiforme o di una sfera elettrizzata le superfici di livello del campo elettrostatico sono sfere concentriche, nel campo di un cilindro carico infinito sono cilindri coassiali, etc. Tuttavia, in generale, nei casi più complessi, superfici equipotenziali consecutive differiscono, non solamente nella loro posizione e dimensione, ma pure nella forma. In ogni modo, la superficie di un conduttore è una superficie equipotenziale poiché il potenziale di un conduttore in un campo elettrostatico è costante su tutta la sua lunghezza.

$\mathbf {n}$ stia per normale a una superficie di livello $\phi =\phi _{0}$ tendente nella direzione di aumento di $\phi$ e dimostriamo che conoscendo la derivata ${\delta \phi \over \delta n}$ nella direzione di questa normale, si possa determinare il valore della derivata dello scalare $\phi$ in qualunque direzione $\mathbf {s}$.

Assumiamo la superficie di livello, che passa attraverso il punto $P_{s}$ che giace nella direzione di $\mathbf {s}$, di intersecare la normale $\mathbf {n}$ nel punto $P_{n}$. Il valore di $\phi$ nel punto $P_{n}$ è uguale al valore di $\phi$nel punto $P_{s}$ (cioè $\phi _{n}=\phi _{s}$), e

$P_{0}P_{s}={P_{0}P_{n} \over cos(\mathbf {s,n} )}$.

Conseguentemente,

$({\delta \phi \over \delta s})_{0}=\lim _{P_{0}P_{s}\to 0}{\phi _{s}-\phi _{0} \over P_{0}P_{s}}=cos(\mathbf {s,n} )\lim _{P_{0}P_{s}\to 0}{\phi _{s}-\phi _{0} \over P_{0}P_{s}}=cos(\mathbf {s,n} )({\delta \phi \over \delta s})_{0}$

Pertanto

${\delta \phi \over \delta s}={\delta \phi \over \delta n}cos(\mathbf {s,n} )\ \ \ \ (E.2)$

Il vettore numericamente uguale a ${\delta \phi \over \delta n}$ e diretto lungo una normale alla superficie di livello nella direzione di aumento di $\phi$ viene chiamato gradiente dello scalare $\phi$:

$grad\ \phi ={\delta \phi \over \delta n}\mathbf {n} \ \ \ \ (eq.3)$

Quindi, l'equazione (eq.2) può essere scritta come di seguito:

${\delta \phi \over \delta s}=|grad\ \phi |.cos(\mathbf {s,n} )=grad_{s}\phi \ \ \ \ (eq.4)$

Pertanto, la derivata di $\phi$ rispetto alla direzione di $\mathbf {s}$ uguaglia la proiezione del vettore gradiente di $\phi$ sulla direzione di $\mathbf {s}$. Se, in particolare, si introduce il sistema delle coordinate cartesiane x, y e z i cui assi siano paralleli ai vettori unitari $\mathbf {i,j,k}$, allora concordemente alla (eq.4), otteniamo

$grad_{x}\phi ={\delta \phi \over \delta x},\ grad_{y}\phi ={\delta \phi \over \delta y},\ grad_{z}\phi ={\delta \phi \over \delta z}\ \ \ \ \ (eq.5)$

ovvero:

$grad\ \phi =\mathbf {i} {\delta \ \phi \over \delta \ x}+\mathbf {j} {\delta \ \phi \over \delta \ y}+\mathbf {k} {\delta \ \phi \over \delta \ z}\ \ \ \ (eq.6)$

$|grad\ \phi |={\sqrt[{2}]{({\delta \phi \over \delta x})^{2}+({\delta \phi \over \delta y})^{2}+({\delta \phi \over \delta z})^{2}}}\ \ \ \ (eq.6')$

Dalla (eq.4), come pure direttamente dalla figura, risulta che la direzione $\mathbf {n}$ del gradiente è quella della più rapida variazione dello scalare $\phi$, mentre la direzione $\mathbf {-n}$ è la direzione della sua più rapida riduzione di. Nella direzione perpendicolare ad $\mathbf {n}$, cioè tangente alla superficie di livello, il valore di $\phi$ non cambia per nulla ${\delta \phi \over \delta s}=0$.

Per illustrare la dipendenza della derivata di $\phi$ dalla direzione, conduciamo da un dato punto $P_{0}$ due vettori opposti $\ grad\ \phi$ e $-grad\ \ \phi$ e circoscriviamo intorno ad ognuna di loro come attorno ad un diametro delle superfici sferiche. Dunque, il valore assoluto della derivata ${\delta \phi \over \delta s}$ nel punto $P_{0}$ per quanto riguarda la direzione $\mathbf {s}$ arbitraria verrà rappresentata con la porzione $P_{0}\ grad_{s}\phi$ del raggio condotto da $P_{0}$ nella direzione di $\mathbf {s}$ poiché l'angolo $P_{0}P_{s}n$ uguaglia 90°, e

$P_{0}P_{s}=P_{0}N\ cos(\mathbf {s,n} )=grad\ \phi \cdot \cos(\mathbf {s,n} )$

Una relazione simile vale pure nel caso in cui $\mathbf {s}$ si proietta nella direzione $-grad\phi$. La superficie tangente alle sfere $S$ e $S'$ nel punto $P_{0}$ è chiaramente una superficie di livello.

4. Pertanto, se conosciamo il campo dello scalare $\phi$, allora in ciascun punto di questo campo è possibile determinare il vettore $grad\ \phi$ o perpendicolare alle superfici di livello di questo scalare. Se conduciamo un sistema di traiettorie ortogonali della superficie di livello, cioè un sistema di linee perpendicolari a queste superfici, allora in ciascun punto del campo la direzione del gradiente coinciderà con quella di queste linee. Quindi, le traiettorie ortogonali delle superfici di livello sono chiamate linee di gradiente.

Se situiamo le superfici di livello in modo tale che il valore di $\phi$ sulle superficie consecutive cresca secondo una progressione aritmetica, cioè $\phi _{0},\phi _{0}\pm \Delta \phi ,\phi _{0}\pm 2\Delta \phi ,..$, allora le distanze fre le superfici di livello adiacenti con un valore sufficientemente piccolo di $\Delta \phi$ sarà inversamente proporzionale al valore assoluto del gradiente. Infatti, $\Delta n$ sta per la distanza tra superfici di livello adiacenti misurata lungo una normale, e quindi dalla relazione approssimativa

$\Delta \phi ={d\phi \over ds}=grad\ \phi \ \Delta n$

a $\Delta \phi$ costante ne segue che

$grad\ \phi ={cost. \over \Delta \ n}$

Di conseguenza, quando le superfici di livello sono disegnate come indicato di sopra, la densità della loro allocazione fornisce una idea approssimata del valore assoluto del gradiente.

Dovrebbesi notare pure che se lo scalare $\phi$ è espresso come funzione di uno scalare diverso $\Phi$ che sia una funzione di posizione [$\phi =f(\Phi )$], allora

$grad_{s}\phi ={\delta \phi \over \delta s}={\delta \phi \over \delta \Phi }{\delta \Phi \over \delta s}={\delta \phi \over \delta \Phi }=grad_{s}\Phi$

poiché

$grad\ \phi ={\delta \phi (\Phi ) \over \delta {\Phi }}grad\ \Phi \ \ \ \ (E.7)$

che deriva dalla formula per la differenziazione di una funzione di funzione.