Analisi vettoriale/Algebra vettoriale

Viene assunto che il lettore abbia una discreta conoscenza dell'algebra vettoriale, pertanto gli ricordiamo solamente alcune delle definizioni e formule fondamentali.

Prodotto scalare

Il prodotto scalare di due vettori

$\mathbf {a} =a_{x}\mathbf {i} +a_{y}\mathbf {j} +a_{z}\mathbf {k}$

$\mathbf {b} =b_{x}\mathbf {i} +b_{y}\mathbf {j} +b_{z}\mathbf {k}$

dove $\mathbf {i}$, $\mathbf {j}$, e $\mathbf {k}$ sono vettori unitari posti sugli assi coordinati x, y e z, uguaglia:

$\mathbf {ab} =(\mathbf {ba} )=ab\ cos(\mathbf {a,b} )=a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}$

Prodotto vettoriale

Il prodotto vettoriale [$\mathbf {ab}$] dei vettori $\mathbf {a}$ e $\mathbf {b}$ è un vettore perpendicolare ad $\mathbf {a}$ e $\mathbf {b}$ con modulo di valore assoluto uguale all'area del parallelogramma formato da questi vettori:

$[\mathbf {ab} ]=ab\ cos(\mathbf {a,b} )$

$[\mathbf {ab} ]={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}}=(a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y})\mathbf {i} +(a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z})\mathbf {j} +(a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x})\mathbf {k}$

$[\mathbf {ab} ]=-[\mathbf {ba} ]$

La direzione del vettore $[\mathbf {ab} ]$ è determinata dal requisito che i vettori $\mathbf {a}$, $\mathbf {b}$ e $[\mathbf {ab} ]$ costituiscano un sistema destrorso.

Triplo prodotto scalare

Il triplo prodotto scalare di tre vettori $\mathbf {a} ,\mathbf {b} \ e\ \mathbf {c}$ è uno scalare numericamente uguale al volume del parallelepipedo costituito da questi tre vettori:

$\mathbf {a} [\mathbf {bc} ]=\mathbf {b} [\mathbf {ca} ]=\mathbf {c} [\mathbf {ab} ]={\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\end{vmatrix}}$

$\mathbf {a} [\mathbf {bc} ]=-\mathbf {b} [\mathbf {ac} ]=-\mathbf {a} [\mathbf {cb} ]$

Triplo prodotto vettoriale

$[\mathbf {a} [\mathbf {bc} ]]=\mathbf {b} (\mathbf {ac} )-\mathbf {c} (\mathbf {ab} )=-[[\mathbf {bc} ]\mathbf {a} ]$

Se i vettori sono una funzione di una variabile scalare t, allora i vettori possono venire differenziati rispetto a questa variabile nel rispetto delle usuali condizioni. Qui, le seguenti relazioni si mantengono:

${d \over dt}(\mathbf {a+b} )={d\mathbf {a} \over dt}+{d\mathbf {b} \over dt}$

${d \over dt}(\phi \mathbf {a} )=\phi {d\mathbf {a} \over dt}+{d\phi \over dt}\mathbf {a}$

${d \over dt}(\mathbf {ab} )=({d\mathbf {a} \over dt}\mathbf {b} )+(\mathbf {a} {d\mathbf {b} \over dt})\,etc.$