Teoria dei segnali/Segnali nel tempo

Segnali nel tempo

Segnali a tempo continuo

Un segnale a tempo continuo (o segnale continuo) è una funzione che associa ad ogni istante $t\in \mathbb {R}$ un valore; $x(t):\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ è un segnale analogico; un segnale a tempo continuo i cui valori sono tutti multipli interi di un valore minimo è detto segnale quantizzato; se il segnale è definito solo in un intervallo di tempo limitato, allora si suppone nullo al di fuori di questo intervallo

Proprietà elementari

Energia normalizzata del segnale

$E_{x(t)}=\int \left|x(t)\right|^{2}\,dt$

Potenza normalizzata del segnale

$P_{x(t)}=\lim _{T\rightarrow +\infty }{\frac {1}{T}}\int _{-T/2}^{+T/2}\left|x(t)\right|^{2}\,dt$

Un segnale a energia finita ha potenza nulla, un segnale a potenza finita ha energia infinita

Per normalizzato si intende che la potenza e l'energia sono riferite convenzionalmente ad una impedenza unitaria (che quindi non appare nelle formule)

Valor medio del segnale

$M_{x(t)}=\lim _{T\rightarrow +\infty }{\frac {1}{T}}\int _{-T/2}^{+T/2}\left|x(t)\right|\,dt$

Se un segnale ha durata limitata allora potenza, energia e valor medio sono valutati solo nell'intervallo di esistenza del segnale, invece che per tutti i valori reali del tempo (altrimenti avrebbero sempre valore nullo)

La durata di un segnale corrisponde all'intervallo di tempo in cui il segnale è definito,

l'ampiezza di un segnale corrisponde all'intervallo di valori che questo assume

Un segnale a tempo continuo è periodico se esiste un valore minimo $T_{p}$ tale che $x(t)=x(t+iT_{p})$ per ogni $t$, $T_{p}$ è detto periodo ed il suo inverso $f_{p}=1/T_{p}$ è detta frequenza fondamentale; se questa proprietà non è soddisfatta un segnale si dice in generale aperiodico

La potenza di un segnale periodico può essere valutata più semplicemente come

$P_{x(t+iT_{p})}={\frac {1}{T_{p}}}\int _{[T_{p}]}\left|x(t)\right|^{2}\,dt$

un segnale periodico (che non sia sempre nullo) ha energia infinita

Anche la valutazione del valore medio può essere semplificata

$M_{x(t+iT_{p})}={\frac {1}{T_{p}}}\int _{[T_{p}]}x(t)\,dt$

Segnali comuni

Diamo qui le espressioni analitiche di alcuni segnali a tempo continuo che si ritrovano comuneemente.

• Gradino unitario

$\mathrm {grad} (t)=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{per }}t>0\\1/2,&{\mbox{per }}t=0\\0,&{\mbox{per }}t<0\end{matrix}}\right.$

• Segno

$\mathrm {sgn} (t)=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{per }}t>0\\0&{\mbox{per }}t=0\\-1&{\mbox{per }}t<0\end{matrix}}\right.$

• Costante

$x(t)=A$

• Esponenziale unilatero

${\begin{cases}e^{-{\frac {t}{\tau }}}&{\mbox{per }}t\geq 0\\0&{\mbox{per }}t<0\\\end{cases}}$

• Esponenziale bilatero

$e^{-{\frac {\mid t\mid }{\tau }}}$

• Esponenziale complesso

$e^{-j2\pi f_{0}t}$

• Cosinusoide di frequenza $f_{p}$ e fase $\theta$

$\cos {(2\pi f_{p}t+\theta )}$

• Impulso rettangolare di ampiezza unitaria e durata $\tau$

$\Pi \left({\frac {t}{\tau }}\right)={\begin{cases}1&{\mbox{per }}\left|t\right|\leq {\frac {\tau }{2}}\\0&{\mbox{altrimenti}}\end{cases}}$

• Impulso triangolare di ampiezza unitaria e durata $2\tau$

$\Lambda \left({\frac {t}{\tau }}\right)=\left(1-{\frac {\left|t\right|}{\tau }}\right)\Pi \left({\frac {t}{2\tau }}\right)={\begin{cases}\left(1-{\frac {\left|t\right|}{\tau }}\right)&{\mbox{per }}\left|t\right|\leq \tau \\0&{\mbox{altrimenti}}\end{cases}}$

Segnali a tempo discreto

Un segnale a tempo discreto (o segnale discreto) è definito solo per alcuni valori del tempo multipli di un intervallo di segnalazione $T_{s}$, il suo insieme di esistenza è quindi numerabile, $x(nT_{s}):\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {R}$

Si può sottintendere l'intervallo di segnalazione e trattare i segnali discreti come sequenze numeriche $x[n]$(ovvero come vettori numerici)

Un segnale a tempo discreto i cui valori sono tutti multipli interi di un valore minimo è detto segnale digitale

Proprietà fondamentali

Alcune proprietà dei segnali discreti differiscono nella loro definizione dalle corrispondenti proprietà dei segnali continui Energia normalizzata del segnale $E_{x[n]}=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x^{2}[n]$

Potenza normalizzata del segnale $P_{x[n]}=\lim _{N\rightarrow +\infty }{\frac {1}{2N-1}}\sum _{n=-N}^{+N}x^{2}[n]$

Un segnale a tempo discreto è periodico" se esiste un valore minimo $N_{p}$ tale che $x[n]=x[n+iN_{p}]$ per ogni $n$, con $i$ numero intero.

La potenza di un segnale periodico può essere valutata più semplicemente come $P_{x[n+iN_{p}]}={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}x^{2}[n]$

Segnali comuni

Se si restringe la definizione dei segnali a tempo continuo per $t=nT_{s}$, si ottengono i corrispondenti segnali a tempo discreto

• Gradino unitario a tempo discreto

$\mathrm {dgra} (n)=\left\{{\begin{array}{ll}1&{\mbox{per }}n\geq 0\\0&{\mbox{per }}n<0\\\end{array}}\right.$

• Delta di Kroncker

$\delta (n)=\left\{{\begin{array}{ll}1&{\mbox{per }}n=0\\0&{\mbox{per }}n\neq 0\\\end{array}}\right.$

• Segno

$\mathrm {dsgn} (n)=\left\{{\begin{array}{rl}1&{\mbox{per }}n\geq 0\\-1&{\mbox{per }}n<0\\\end{array}}\right.$

• Impulso rettangolare di ampiezza unitaria e durata $N$

$\mathrm {drect} \left({\frac {n}{N}}\right)=\left\{{\begin{array}{ll}1&{\mbox{per }}0\leq n\leq N-1\\0&{\mbox{altrove}}\end{array}}\right.$