Teoria dei segnali/Segnali in frequenza

Segnali continui aperiodici

Dato un segnale nel dominio del tempo $x(t)$ definiscono le operazioni di trasformata Errore del parser (funzione sconosciuta '\TCF'): {\displaystyle \TCF{x(t)}} :

Errore del parser (funzione sconosciuta '\Comp'): {\displaystyle (\Re \rightarrow \Re) \rightarrow (\Re \rightarrow \Comp)} e antitrasformata $\TCFI{X(f)}$ continua di Fourier (o semplicemente \emph{trasformata di Fourier}) </math> \begin{equation} \$TCF{x(t)}=X(f)=\int _{-\infty }^{+\infty }x(t)e^{-j(2\pi f)t}dt$ \end{equation}

\begin{equation} \TCFI{X(f)} = x(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} X(f) e^{j(2 \pi f)t} dt \end{equation} nei punti di discontinuità di $x(t)$, l'antitrasformata ha valore pari alla semisomma dei limiti destro e sinistro

Indichiamo con $X(f)$ la trasformata del segnale $x(t)$; questa è una funzione a valori complessi che può essere scritta come due funzioni reali, in modulo $A(f)$ e fase $\theta(f)$ tali che \begin{equation} X(f) = A(f) \e{j\theta(f)} \phantom{30} A(f) = \mid X(f) \mid \phantom{3} , \phantom{3} \theta(f) = \angle X(f) \end{equation} oppure come parte reale $R(f)$ e parte immaginaria $I(f)$; \begin{equation} X(f) = R(f) + jI(f) \phantom{30} R(f) = \Re\{X(f)\} \phantom{3} , \phantom{3} I(f) = \Im\{X(f)\} \end{equation}

Condizioni di trasformabilità

Un segnale $x(t)$ è trasformabile se ha energia finita, \begin{equation} \intI \mid x(t) \mid ^{2} dt < +\infty \end{equation} oppure se è assolutamente sommabile e ha un numero finito di discontinuità e di massimi e minimi in ogni intervallo \begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} \intI \mid x(t) \mid dt < \infty \\ \mbox{discontinuità, massimi e minimi finiti in ogni intervallo} \\ \end{array} \right. \end{equation}

Trasformate dei segnali più comuni

\begin{itemize} \item Impulso rettangolare \begin{equation} \TCF{A \rect{t}{\tau}} = \tau A \sinc (f\tau) \end{equation}

\item Impulso triangolare \begin{equation} \TCF{A \tri{t}{\tau}} = \tau A \sinc^{2} (f \tau) \end{equation}

\item Esponenziale unilatero \begin{equation} \TCF{\e{\frac{t}{\tau}}\gra{t}} = \frac{\tau}{1 + j(2 \pi f)\tau} = \frac{\tau} {\sqrt{1+(2\pi f \tau)^{2}}} \e{-\tan^{-1}2\pi f \tau} \end{equation}

\item Esponenziale bilatero \begin{equation} \TCF{\e{\frac{\mid t \mid}{\tau}}\gra{t}} = \frac{2\tau}{1 + (2\pi f\tau)^{2}} \end{equation} \end{itemize}

le trasformate di segnali a potenza finita possono essere ricavate in funzione della delta di Dirac: \begin{itemize} \item delta di Dirac \begin{equation} \TCF{\delta(t)} = 1 \end{equation}

\item Costante \begin{equation} \TCF{A} = A\delta{t} \end{equation}

\item Esponenziale complesso \begin{equation} \TCF{\e{j 2 \pi f_{0} t}} = \delta(f - f_{0}) \end{equation}

\item Cosinusoide \begin{equation} \TCF{\cos (2 \pi f_{0} t)} = \frac{\delta(f - f_{0}) + \delta(f + f_{0})}{2} \end{equation}

\item Sinusoide \begin{equation} \TCF{\sin (2 \pi f_{0} t)} = \frac{\delta(f - f_{0}) - \delta(f + f_{0})}{2j} \end{equation}

\item Segno \begin{equation} \TCF{\sgn{t}} = \frac{1}{j \pi f} \end{equation} (si ricava imponendo $\sgn{x} = \lim_{a \rightarrow 0} \e{-ax}\gra{x} - \e{ax}\gra{-x}$ e quindi calcolando la trasformata e poi passando al limite)

\item Gradino unitario \begin{equation} \TCF{\gra{t}} = \frac{\delta(f)}{2} + \frac{1}{j 2 \pi f} \end{equation} \end{itemize}

Segnali continui periodici

Se un segnale $x(t)$ è periodico di periodo $T_{p}$ si definiscono le operazioni di trasformata $\TSF{x(t)} : (\Re \rightarrow \Re) \rightarrow (\Int \rightarrow \Comp)$ e antitrasformata serie di Fourier $\TSFI{X(kf_{p})}$ che consentono di scomporre un segnale periodico in una somma di sinusoidi con frequenze multiple della \emph{frequenza fondamentale} $f_{p} = 1/T_{p}$

\begin{equation} X(k f_{p}) = \TSF{x(t+pT_{p})} = \frac{1}{T_{p}} \int_{-T/2}^{+T/2} x(t) \e{-j(2 \pi f_{p}k) t} dt \end{equation}

\begin{equation} x(t + pT_{p}) = \TSFI{X(k f_{p})} = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} X(kf_{p}) \e{j(2 \pi f_{p}k) t} \end{equation}

dove $k \in \Int$; la trasformata può anche essere vista come una sequenza numerica, ovvero come un vettore di valori complessi $X[k] = X(kf_{p})$

\begin{displaymath} x(t) = A(0) + 2 \sum_{k=1}^{+\infty} A(kf_{p}) \cos\big( 2 \pi f_{p} k t + \theta(kf_{p}) \big) \end{displaymath}

Trasformate dei segnali più comuni

\begin{itemize} \item Treno di delta \begin{equation} \TSF{\sumI{p} \delta(t - pT_{p})} = \frac{1}{T_{p}} \sumI{k} \e{-j 2\pi f_{p}} \end{equation} \end{itemize}

Segnali discreti

La trasformata di Fourier di un segnale a tempo discreto è detta trasformata discreta di Fourier ed è periodica di periodo $\$f_{s}=1/T_{s}\$$ (frequenza di segnalazione)

Errore del parser (funzione sconosciuta '\TDF'): {\displaystyle X(f + pf_{s}) = \TDF{x(n T_{s})} = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n T_{s}) \e{-j(2 \pi f) n T_{s}} }

\begin{equation} x(n T_{s}) = \TDFI{X(f+pf_{s})}

          = T_{s} \int_{[f_{s}]} X(f) \e{j(2 \pi f) n T_{s}} df

\end{equation}

La trasformata di Fourier di un segnale discreto definito su un intervallo limitato $n \in [0 \cdots N-1]$, ovvero di una sequenza finita oppure di una sequenza periodica di periodo $N$ (considerando la sequenza finita ripetuta per intervalli $N$), è detta \emph{trasformata finita di Fourier} (anche se spesso anche questa è chiamata trasformata discreta di Fourier) \begin{equation} X[k + pN] = \TFF{x[n + pN]}

         = \sum _{n=0} ^{N-1} x[n] \e{-\frac{j 2 \pi n}{N} k} 

\end{equation} \begin{equation} x[n + pN] = \TFFI{X[k + pN]}

         = \frac{1}{N} \sum _{k=0} ^{N-1} X[k] \e{\frac{j 2 \pi k}{N} n} 

\end{equation} Esistono algoritmi che consentono di calcolare la trasformata finita di fourier di una sequenza di lunghezza $N$ con complessità dell'ordine di $N \log N$ (\emph{fast Fourier trasform} o FFT), $N$ è generalmente una potenza di $2$ e per il calcolo della TFF si usano comuni calcolatori digitali

Trasformate dei segnali più comuni

\begin{itemize} \item Impulso rettangolare discreto \begin{equation} \TDF{\drect{n}{N}} = \frac{\sin (N \pi f NT_{c})}{\sin(\pi f N T_{c})}

                    \e{-j\pi(N-1)f N T_{c}} 

\end{equation} \end{itemize}

Proprietà comuni delle trasformate

Queste proprietà sono in generale valide per tutte le trasformate di Fourier; si suppone $X(f) = \TF{x(t)}$

Linearità

La trasformata di Fourier è un operatore lineare (per la linearità delle operazioni di integrazione e moltiplicazione per un esponenziale complesso), il \emph{teorema della linearità} afferma che la trasformata di una combinazione lineare di segnali è una combinazione lineare delle trasformate dei due segnali \begin{equation} \mbox{se} \phantom{5} x(t) = ax_{1}(t) + bx_{2}(t) \phantom{10} \mbox{allora} \phantom{5} X(f) = aX_{1}(f) + bX_{2}(f) \end{equation} </math>

Proprietà della trasformata continua

Se $x(t)$ è un segnale aperiodico e $X(f) = \TCF{x(t)}$

$X(0)$ rappresenta l'ampiezza della componente continua (a frequenza nulla) del segnale e quindi il suo valor medio (????) \begin{equation} \M_{x(t)} = X(0) \end{equation}

Trasformata di segnali reali

Se il segnale $x(t)$ è \emph{reale}, allora può essere espresso come somma di sinusoidi e cosinusoidi e la sua trasformata gode della proprietà di simmetria hermitiana \begin{displaymath} R(f) = \intI x(t) \cos (2\pi f t) dt \end{displaymath} \begin{equation} I(f) = \intI x(t) \sin (2\pi f t) dt \end{equation} \begin{displaymath} X(f) = X^{*}(-f) \end{displaymath} \begin{displaymath} A(f) = A(-f) \phantom{3} , \phantom{3} \theta(f) = -\theta(-f) \end{displaymath} \begin{equation} R(f) = R(-f) \phantom{3} , \phantom{3} I(f) = -I(-f) \end{equation} dove $R(f)$ è la parte pari del segnale, $I(f)$ è la parte dispari, $R(0)$ corrisponde alla componente continua

se $x(t)$ è \emph{reale e pari} allora può essere espresso come somma di cosinusoidi e la sua trasformata è reale e pari \begin{displaymath} X(f) = R(f) = A(f) = 2 \int _{0} ^{+\infty} x(t) \cos (2\pi f t) dt \end{displaymath} \begin{equation} I(f) = 0 \phantom{30} \theta(f) = 0 \end{equation} \begin{equation} X(f) = X(-f) \end{equation}

se $x(t)$ è \emph{reale e dispari} allora può essere espresso come somma di sinusoidi e la sua trasformata è immaginaria pura e dispari \begin{displaymath} X(f) = -I(f) = jA(f) = -j 2 \int _{0} ^{+\infty} x(t) \sin (2\pi f t) dt \end {displaymath} \begin{equation} R(f) = 0 \phantom{30} \theta(f) = \left\{ \begin{array}{cl} \pi & \mbox{per $f>0$} \\ -\pi & \mbox{per $f<0$} \\ \end{array} \right. \end{equation} \begin{equation} X(f) = -X(-f) \end{equation}

Teorema della dualità

La trasformata della trasformata di un segnale (considerando quest'ultima nel dominio del tempo con $t$ scambiato con $f$) è uguale all'opposto del segnale (\emph{teorema della dualità}) \begin{equation} \mbox{se} \phantom{5} X(t) = \TCF{x(f)} \phantom{10} \mbox{allora} \phantom{5} \TCF{X(t)} = x(-f) \end{equation}

Teorema del cambiamento di scala

Se si riscala l'asse dei tempi di un fattore $\alpha \in \Re$ la trasformata viene riscalata di un fattore inverso e ne viene variata l'ampiezza (\emph{teorema del cambiamento di scala}) \begin{equation} \mbox{se} \phantom{5} x_{2}(t) = \alpha x_{1}(\alpha t) \phantom{10} \mbox{allora} \phantom{5} X_{2}(f) = \frac{1}{\mid\alpha\mid} X_{1}\left(\frac{f}{\alpha}\right) \end{equation}

Teorema del ritardo

La trasformata di un segnale ritardato di un tempo $t_{r}$ ha lo stesso spettro di ampiezza e spettro di fase variato di un fattore lineare (\emph{teorema del ritardo}) \begin{equation} \mbox{se} \phantom{5} x_{2}(t) = x_{1}(t - t_{r}) \phantom{10} \mbox{allora} \phantom{5} X_{2}(f) = X_{1}(f) \e{-j2\pi f t_{r}} \end{equation} da notare che se il segnale è periodico e il ritardo $t_{r}$ è multiplo del periodo, allora la trasformata rimane invariata

Teorema della traslazione in frequenza

Se si trasla lo spettro di una frequenza $f_{r}$, si ottiene la trasformata del segnale originario moltiplicato per un esponenziale complesso (\emph{teorema della traslazione in frequenza} \begin{equation} \mbox{se} \phantom{5} X_{2}(f) = X_{1}(f - f_{r}) \phantom{10} \mbox{allora} \phantom{5} x_{2}(t) = x_{1}(t) \e{j2\pi f_{r} t} \end{equation}

Teorema della modulazione

La trasformata di un segnale moltiplicato per una cosinusoide con frequenza fondamentale molto maggiore della banda del segnale è un segnale passa-banda centrato sulle frequenze della cosinusoide (\emph{teorema della modulazione}) \begin{equation} \mbox{se} \phantom{5} x_{2}(t) = x_{1}(t)\cos(2 \pi f_{p} t) \phantom{10} \mbox{allora} \phantom{5} X_{2}(f) = X_{1}(f) \conv \frac{\delta(f-f_{p}) + \delta(f+f_{p})}{2} \end{equation}

Teoremi della derivazione e integrazione

La trasformata della derivata di un segnale è pari alla trasformata del segnale per $j2\pi f$ (\emph{teorema della derivazione}) \begin{equation} \mbox{se} \phantom{5} x_{2}(t) = \frac{dx_{1}(t)}{dt} \phantom{10} \mbox{allora} \phantom{5} X_{2}(f) = j2\pi f X_{1}(f) \end{equation} esiste anche il teorema inverso (\emph{teorema dell'integrazione}) che consente di valutare la trasformata dell'integrale di un segnale \begin{equation} \mbox{se} \phantom{5} x_{2}(t) = \int _{-\infty} ^{t} x_{1}(\tau) d\tau \phantom{10} \mbox{allora} \phantom{5} X_{2}(f) = \left. \frac{X_{1}(f)}{j2\pi f} \right| _{f \not= 0}

          + \frac{X_{1}(0)}{2} \delta(f)

\end{equation}

Teorema della convoluzione

La trasformata della convoluzione di due segnali è pari al prodotto delle due trasformate (\emph{teorema della convoluzione}) \begin{equation} \mbox{se} \phantom{5} x(t) = x_{1}(t) \conv x_{2}(t) \phantom{10} \mbox{allora} \phantom{5} X(f) = X_{1}(f) X_{2}(f) \end{equation}

Teorema del prodotto

La trasformata del prodotto di due segnali è pari alla convoluzione delle trasformate (\emph{teorema del prodotto}) \begin{equation} \mbox{se} \phantom{5} x(t) = x_{1}(t) x_{2}(t) \phantom{10} \mbox{allora} \phantom{5} X(f) = X_{1}(f) \conv X_{2}(f) \end{equation}

Teorema della correlazione

La trasformata della correlazione di due segnali è pari al prodotto della trasformata del primo segnale per la trasformata coniugata del secondo (\emph{teorema della correlazione}) \begin{equation} \mbox{se} \phantom{5} x(t) = x_{1}(t) \conv x_{2}(-t) \phantom{10} \mbox{allora} \phantom{5} X(f) = X_{1}(f) X_{2}^{*}(f) \end{equation}

Proprietà della trasformata serie

Se $x(t) = x(t+iT_{p})$ è un segnale periodico e $X[k]= X(kf_{p}) = \TSF{x(t+iT_{p})}$

$X[0]$ rappresenta l'ampiezza della componente continua (a frequenza nulla) del segnale e quindi il suo valor medio \begin{equation} \M_{x(t)} = X[0] \end{equation}

Proprietà della trasformata finita

Teorema della convoluzione ciclica

La trasformata della convoluzione ciclica di due segnali è pari al prodotto delle due trasformate (\emph{teorema della convoluzione ciclica}) \begin{equation} \mbox{se} \phantom{5} x[n] = x_{1}[n] \cconv{N} x_{2}[n] \phantom{10} \mbox{allora} \phantom{5} X[k] = X_{1}[k] X_{2}[k] \end{equation}

Teorema del prodotto

La trasformata del prodotto di due segnali è pari alla convoluzione ciclica delle trasformate (\emph{teorema del prodotto}) \begin{equation} \mbox{se} \phantom{5} x[n] = x_{1}[n] x_{2}[n] \phantom{10} \mbox{allora} \phantom{5} X[k] = N X_{1}[k] \cconv{N} X_{2}[k] \end{equation}

Misc

\begin{equation} \frac{dX(f)}{dt} \Leftrightarrow -j2\pi tx(t) \end{equation}