Calcolo differenziale/Funzioni su spazi vettoriali - ordini successivi: differenze tra le versioni
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Per le funzioni vettoriali vale un discorso analogo, ma questa volta le funzioni <math>d^k\mathbf f(\mathbf x_0)</math> sono a valori in ''V'', cioè restituiscono un vettore, per cui esse sono associate ad altrettanti tensori di tipo (1, ''k'') che danno uno scalare quando vengano moltiplicati per un tensore di tipo (''k'', 1), e questi tensori sono - per definizione - le derivate della funzione.
Ci sono
*si scrive il prodotto scalare di <math>d^k \mathbf f</math> con un generico covettore ω:
<div style="float:center; width:85%; padding:15px; background: white; border: 1px solid blue;
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:<math>d^k\mathbf f(\mathbf x_0)(\Delta \mathbf x_1, \cdots, \Delta \mathbf x_k) =
<D^k \mathbf f(\mathbf x_0), - \otimes \Delta \mathbf x_1 \otimes \cdots \otimes \Delta \mathbf x_k></math>
</div>
*oppure si definisce una "contrazione" fra il tensore (1,k) <math>D^k \mathbf f(\mathbf x_0)</math> e il tensore (k,0) <math>\Delta \mathbf x_1 \otimes \cdots \otimes \Delta \mathbf x_k</math> tale che per ogni ω si abbia:
:<math><D^k \mathbf f(\mathbf x_0), \omega \otimes \Delta \mathbf x_1 \otimes \cdots \otimes \Delta \mathbf x_k>=
<\omega, D^k \mathbf f(\mathbf x_0)\Delta \mathbf x_1 \otimes \cdots \otimes \Delta \mathbf x_k></math>
:dopodiché si può porre:
<div style="float:center; width:85%; padding:15px; background: white; border: 1px solid blue;
margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">
:<math>d^k\mathbf f(\mathbf x_0)(\Delta \mathbf x_1, \cdots, \Delta \mathbf x_k) =
D^k \mathbf f(\mathbf x_0)\Delta \mathbf x_1 \otimes \cdots \otimes \Delta \mathbf x_k></math>
</div>
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