Calcolo differenziale/Funzioni su spazi vettoriali - ordini successivi: differenze tra le versioni
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La definizione di differenziale ''k''-mo data per le funzioni di una variabile reale si lascia facilmente generalizzare a quelle definite su spazi vettoriali: il differenziale di ordine ''k'' calcolato nel punto <math>\mathbf x_0</math> è una funzione ''k''-lineare nei suoi argomenti <math>(\Delta \mathbf x_1,\cdots,\Delta \mathbf x_k)</math> e tale che come funzione lineare del suo ''k''-mo argomento esso risulti pari alla parte lineare della variazione del differenziale (''k''-1)-mo rispetto ad una variazione del suo punto di applicazione:
<div style="float:center; width:
margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">
;funzioni scalari
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d^{k-1}f(\mathbf x_0)(\Delta \mathbf x_1, \cdots, \Delta \mathbf x_{k-1}) +
d^kf(\mathbf x_0)(\Delta \mathbf x_1, \cdots, \Delta \mathbf x_{k-1}, \Delta \mathbf x_k)
+ o(\|\Delta \mathbf x_k\|) \;</math>
;funzioni vettoriali
:<math>d^{k-1}\mathbf f(\mathbf x_0 + \Delta \mathbf x_k)(\Delta \mathbf x_1, \cdots, \Delta \mathbf x_{k-1}) =
d^{k-1}\mathbf f(\mathbf x_0)(\Delta \mathbf x_1, \cdots, \Delta \mathbf x_{k-1}) +
d^k\mathbf f(\mathbf x_0)(\Delta \mathbf x_1, \cdots, \Delta \mathbf x_{k-1}, \Delta \mathbf x_k)
+ o(\|\Delta \mathbf x_k\|) \;</math>
</div>
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