Calcolo differenziale/Funzioni su spazi vettoriali: differenze tra le versioni
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:<math>d\mathbf f (\mathbf x_0)(\Delta \mathbf x) = D\mathbf f(\mathbf x_0) \Delta \mathbf x</math>
</div>
==Derivata e differenziale direzionali==
===Definizione===
Le derivate delle funzioni definite su spazi vettoriali possono essere ricondotte a derivate monodimensionali se a partire dal punto <math>\mathbf x_0</math> la funzione viene [[w:Restrizione di una funzione|ristretta]] ad una direzione definita da un versore <math>\hat \mathbf v</math>, il che equivale a prendere:
:<math>\Delta \mathbf x = \Delta v \, \hat \mathbf v</math>
mentre il punto di applicazione della funzione è:
:<math>\mathbf x := \mathbf x_0 + \Delta v \, \hat \mathbf v </math>
Poiché sia <math>\mathbf x_0</math> sia <math>\hat \mathbf v</math> sono fissati, il punto di applicazione può essere espresso come una funzione dello scalare <math>\Delta v</math>:
:<math>\mathbf x = \mathbf h (\Delta v) := \mathbf x_0 + \Delta v \, \hat \mathbf v \;</math>
Componendo la funzione data con la funzione <math>\mathbf h</math> si ha:
;funzioni scalari
:<math>f(\mathbf x) = (f \circ \mathbf h)(\Delta v)</math>
:<math>f \circ \mathbf h : K \to K</math>
;funzioni vettoriali
:<math>\mathbf f (\mathbf x) = (\mathbf f \circ \mathbf h)(\Delta v)</math>
:<math>\mathbf f \circ \mathbf h : K \to W</math>
La parte lineare dell'incremento della funzione composta in un intorno di <math>\Delta v = 0</math> è per definizione il suo differenziale in quel punto:
;funzioni scalari
:<math>(f \circ \mathbf h)(\Delta v) =
(f \circ \mathbf h)(0) + d(f \circ \mathbf h)(0)(\Delta v) + o(\Delta v) =
(f \circ \mathbf h)(0) + D(f \circ \mathbf h)(0)\Delta v + o(\Delta v)</math>
;funzioni vettoriali
:<math>(\mathbf f \circ \mathbf h)(\Delta v) =
(\mathbf f \circ \mathbf h)(0) + d(\mathbf f \circ \mathbf h)(0)(\Delta v) + o(\Delta v) =
(\mathbf f \circ \mathbf h)(0) + D(\mathbf f \circ \mathbf h)(0)\Delta v + o(\Delta v)</math>
Il differenziale e la derivata che compaiono in queste espressioni sono semplicemente un differenziale e una derivata monodimensionali nella variabile scalare <math>\Delta v</math>. Essi però si ottengono restringendo la funzione alla direzione <math>\hat \mathbf v</math>, e per questa ragione vengono anche definiti '''differenziale direzionale''' e '''derivata direzionale''' , e indicati rispettivamente con <math>\partial_{\hat \mathbf v}</math> e <math>D_{\hat \mathbf v}</math>:
<div style="float:center; width:85%; padding:15px; background: white; border: 1px solid blue;
margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">
;funzioni scalari
*<math>D_{\hat \mathbf v}f(\mathbf x_0) := D(f \circ \mathbf h)(0)</math>
*<math>\partial_{\hat \mathbf v}f(\mathbf x_0)(\Delta v) :=
d(f \circ \mathbf h)(0)(\Delta v) = D_{\hat \mathbf v}f(\mathbf x_0)\Delta v</math>
;funzioni vettoriali
*<math>D_{\hat \mathbf v} \mathbf f(\mathbf x_0) := D(\mathbf f \circ \mathbf h)(0)</math>
*<math>\partial_{\hat \mathbf v}\mathbf f(\mathbf x_0)(\Delta v):=
d(\mathbf f \circ \mathbf h)(0)(\Delta v) = D_{\hat \mathbf v}\mathbf f(\mathbf x_0)\Delta v</math>
</div>
Resta quindi:
;funzioni scalari
:<math>(f \circ \mathbf h)(\Delta v) = f(\mathbf x_0) + D_{\hat \mathbf v}f(x_0)\Delta v + o(\Delta v)</math>
;funzioni vettoriali
:<math>(\mathbf f \circ \mathbf h)(\Delta v) = \mathbf f (\mathbf x_0) + D_{\hat \mathbf v} \mathbf f(x_0)\Delta v + o(\Delta v)</math>
===Relazione con il differenziale e con la derivata (totale)===
Lo sviluppo ottentuto per la funzione composta va confrontato con lo sviluppo della stessa funzione che si ottiene calcolando il differenziale della funzione ''f''/'''f''' con la funzione '''h''' usata come argomento:
;funzioni scalari
:<math>(f \circ \mathbf h)(\Delta v) = f(\mathbf h (\Delta v)) = f(\mathbf x_0 + \Delta v \, \hat \mathbf v) =
f(\mathbf x_0) + df(\mathbf x_0)(\Delta v \, \hat \mathbf v) + o(\|\Delta v \, \hat \mathbf v\|) =
f(\mathbf x_0) + df(\mathbf x_0)(\hat \mathbf v)\Delta v + o(|\Delta v |)</math>
;funzioni vettoriali
:<math>(\mathbf f \circ \mathbf h)(\Delta v) =
\mathbf f(\mathbf x_0) + d\mathbf f(\mathbf x_0)(\hat \mathbf v)\Delta v + o(|\Delta v |)</math>
Dal confronto resta dunque:
<div style="float:center; width:85%; padding:15px; background: white; border: 1px solid blue;
margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">
;funzioni scalari
*<math>D_{\hat \mathbf v}f(\mathbf x_0) = df(\mathbf x_0)(\hat \mathbf v)=
<Df(\mathbf x_0),\hat \mathbf v></math>
*<math>\partial_{\hat \mathbf v}f(\mathbf x_0)(\Delta v) =
df(\mathbf x_0)(\Delta v \hat \mathbf v) =
<Df(\mathbf x_0),\Delta v \hat \mathbf v></math>
;funzioni vettoriali
*<math>D_{\hat \mathbf v} \mathbf f(\mathbf x_0) = d\mathbf f(\mathbf x_0)(\hat \mathbf v)=
D\mathbf f(\mathbf x_0)\hat \mathbf v</math>
*<math>\partial_{\hat \mathbf v}\mathbf f(\mathbf x_0)(\Delta v)=
d\mathbf f(\mathbf x_0)(\Delta v \hat \mathbf v) =
D\mathbf f(\mathbf x_0)\Delta v \hat \mathbf v</math>
</div>
===Generalizzazione della derivata direzionale===
La derivata pariziale solitamente è definita fissando una direzione per mezzo di un versore, in modo tale che la grandezza che varia coincida con la distanza dal punto <math>\mathbf x_0</math>. Nulla impedisce tuttavia di fissare una direzione usando un vettore '''v''' di lunghezza qualsiasi, e facendo variare il suo coefficiente. In tal caso la funzione '''h''' resta definita nel modo seguente:
:<math>\mathbf x = \mathbf h (\Delta v) := \mathbf x_0 + \Delta v \, \mathbf v \;</math>
e la derivata direzionale che si ottiene coincide con quella ottenuta usando il versore moltiplicata per la lunghezza del vettore ''v'':
<div style="float:center; width:85%; padding:15px; background: white; border: 1px solid blue;
margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">
;funzioni scalari
:<math>D_{\mathbf v} f(\mathbf x_0) = D_{\hat \mathbf v} f(\mathbf x_0) \|\mathbf v\| =
df(\mathbf x_0)(\mathbf v) = <Df(\mathbf x_0),\mathbf v></math>
;funzioni vettoriali
:<math>D_{\mathbf v} f(\mathbf x_0) = D_{\hat \mathbf v} \mathbf f(\mathbf x_0) \|\mathbf v\| =
d\mathbf f(\mathbf x_0)(\mathbf v) = D\mathbf f(\mathbf x_0) \mathbf v</math>
</div>
Line 161 ⟶ 254:
:<math>D(\mathbf f \circ \mathbf g)(\mathbf x_0) =
D\mathbf f (\mathbf g(\mathbf x_0))D\mathbf g(\mathbf x_0)</math>
==Relazioni funzionali, operatori funzionali e notazione di Leibniz==
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