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Analisi matematica I/Limite/1: differenze tra le versioni

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''Sia <math>f: X \subseteq \reals \rightarrow \reals \,\!</math> e <math>x_0 \in X \,\!</math> di [[punto di accumulazione|accumulazione]] e <math>l \in \reals \,\!</math>, diremo che il limite di <math>f(x) \,\!</math> per <math>x \,\!</math> che tende a <math>x_0 \,\!</math> è <math>l \,\!</math>:''
:<math>\lim_{x \to x_0} f(x) = l \,\!</math>
''se, per ogni [[intorno]] <math>V \,\!</math> di <math>l \,\!</math>, è possibile trovare un [[intorno]] <math>U \,\!</math> di <math>x_0 \,\!</math> per cui vale :''
:<math>f(x)\in V \,\!</math> se <math>x \in U \cap X \setminus\{x_0\}\,\!</math>
in simboli:
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=== Esempio 1 ===
<span style="font-size:120%">''Provare che <math>\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = +\infty \!</math>''</span>
:Prendiamo un [[intorno]] di <math>+\infty \!</math>, otteniamo:
::<math>\kappa \le f(x) \!</math>
:perciò:
Riga 63:
:quindi basterà prendere:
::<math>x \in \left ( -\frac{1}{\sqrt{\kappa}}, +\frac{1}{\sqrt{\kappa}} \right ) \!</math>
:che è un [[intorno]] di 0, il '''limite''' è verificato!.
 
=== Esempio 2 ===
<span style="font-size:120%">''Provare che <math>\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x+2} = 1 \!</math>''</span>
:Prendiamo un [[intorno]] di 1, otteniamo:
::<math>1-\epsilon \le \frac{x}{x+2} \le 1+\epsilon \!</math>
:separando la [[disuguaglianza]]:
Riga 75:
:dalle quali, per <math>\epsilon > 0 \!</math>:
::<math>x \ge 2 \left ( \frac{1}{\epsilon} - 1 \right ) > -2 \left ( \frac{1}{\epsilon} + 1 \right ) \!</math>
:che è un [[intorno]] di <math>+\infty \,\!</math>, perciò il '''limite''' è verificato.
 
=== Esempio 3 ===
Riga 83:
:dalla quale
::<math>x \in \left [ -\frac{\pi}{2}+2k\pi; +\frac{\pi}{2}+2k\pi \right ] \!</math>
:che non è un [[intorno]] di <math>+\infty \!</math>, perciò il '''limite''' non esiste.
 
== Limite destro, sinistro, per eccesso, per difetto ==
 
Per avere informazioni più precise è bene introdurre il concetto di '''limite destro''' e '''limite sinistro'''. Prima di procedere ricordiamo la definizione di [[intorno]] destro e sinistro.
 
{{definizione|
{{Matematica voce|Definizione|Intorno destro e intorno sinistro|
Dato <math>x \in \reals \!</math>, definiamo '''[[intorno]] destro''' di <math>x \!</math> qualsiasi [[intervallo]] del tipo <math>[x; x+r) \!</math> con <math>r>0 \!</math> e '''[[intorno]] sinistro''' qualsiasi intervallo <math>(x-r; x] \!</math>. Da queste definizioni otteniamo che gli [[intorno|intorni]] di <math>+\infty \!</math> sono sinistri e quelli di <math>-\infty \,\!</math> sono destri.
}}
 
Riga 99:
La definizione sarà:
 
{{definizione|
{{Matematica voce|Definizione|Limite destro e limite sinistro|
Sia <math>f: X \subseteq \reals \rightarrow \reals \!</math> e <math>x_0 \in X \!</math> di [[punto di accumulazione|accumulazione]] e <math>l \in \reals \!</math>, diremo che:
:<math>\lim_{x \to x_0^+} f(x) = l \!</math>
se, per ogni [[intorno]] <math>V \!</math> di <math>l \!</math>, è possibile trovare un [[intorno]] destro <math>U^+ \!</math> di <math>x_0 \!</math> per cui vale :
:<math>f(x)\in V \!</math> se <math>x \ne x_0 \in U^+ \cap X \!</math>
In simboli:
Riga 134:
e
:<math>f(x) \in V_2 \,\!</math> se <math>x \in U_2 \,\!</math>
Dunque prendendo l'[[intorno]] di <math>x_0 \,\!</math> costruito come <math>U_1 \cap U_2 \,\!</math>, dovrebbe succedere, contemporaneamente, che <math>f(x) \in V_1 \,\!</math> e <math>f(x) \in V_2 \,\!</math>, il che è assurdo.
}}
 
Riga 144:
Se
:<math>\lim_{x \to x_0}f(x) = l \in \R \!</math>
allora esistono, un [[intorno]] <math>V \!</math> di <math>x_0 \!</math>
e un [[numero]]
:<math>M > 0, M \in \R \!</math>
Riga 172:
 
{{Matematica voce|Dimostrazione|Teorema della permanenza del segno|
Poniamo <math>l\in\R,\,l>0\!</math>. Preso l'[[intorno]] <math>V = (l-\epsilon;l+\epsilon) \!</math> con <math>0<\epsilon<l\!</math> ('''Notare bene questa limitazione'''). Allora, per [[definizione]] di limite, esiste un [[intorno]] <math>U\!</math> di <math>x_0\!</math>, per il quale
:<math>f(x)\in V\qquad\forall x \in U \cap X \backslash \left \{ x_0 \right \} \!</math>
cioè
Riga 181:
=== Corollari ===
{{Matematica voce|Corollario|Teorema della permanenza del segno|
Sia <math>f: X \subseteq \R\to\R \!</math> e <math>I(x_0) \!</math> un [[intorno]] di <math>x_0\!</math> di [[punto di accumulazione|accumulazione]] per <math>X \!</math>.
 
Se
Riga 201:
Se
:<math>\lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} h(x) = l \!</math>
e se esiste un [[intorno]] <math>U \!</math> di <math>x_0 \!</math> tale che risulti
:<math>f(x) \le g(x) \le h(x) \qquad \forall x \in U \cap X\backslash \left \{ x_0 \right \} \!</math>
allora
Riga 212:
Sia
:<math>l \in \reals \!</math>
preso un [[intorno]] <math>V \!</math> di <math>l \!</math>, <math>(l-\epsilon, l+\epsilon) \!</math> esistono [[intorno|intorni]] <math>U_1 \!</math> e <math>U_2 \!</math> di <math>x_0 \!</math>.
 
Per definizione abbiamo
Riga 218:
e
:<math> x \ne x_0 \in U_2 \implies h(x) \in V \!</math>
Allora, preso l'[[intorno]] <math>U = U_1 \cap U_2 \,\!</math> di <math>x_0 \!</math>, succede, per ipotesi, che:
:<math>l-\epsilon \le f(x) \le g(x) \le h(x) \le l+\epsilon \!</math>
cioè
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