Logica matematica/Insiemi: differenze tra le versioni
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#<math>S \cap \overline S=\emptyset</math> (Contraddizione insiemistica);
#<math>S \cup \overline S=U</math> (Terzo escluso insiemistico);
#<math>S_1=S_2</math> sse <math>\overline{S_1}=\overline{S_2}</math>
#<math>S_1 \subseteq S_2</math> sse <math>\overline{S_2} \subseteq \overline{S_1}</math>
''Dimostrazione''
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#<math>S \cap \overline S=\{x|x \in S\ e\ x \in \overline S\}=\{x|x \in S\ e\ (x \in \{x|x \in U\ e\ x \not\in S\})\}=\{x|x \in S\ e\ (x \in U\ e\ x \not\in S)\}=</math> <math>=\{x|x \in S\ e\ x \in U\ e\ x \not\in S\}=\emptyset</math>;
#<math>S \cup \overline S=\{x|x \in S\ oppure\ x \in \overline S\}=\{x|x \in S\ oppure\ (x \in \{x|x \in U\ e\ x \not\in S\})\}=\{x|x \in S\ oppure\ (x \in U\ e\ x \not\in S)\}=</math> <math>=\{x|(x \in S\ oppure\ x \in U)\ e\ (x \in S\ oppure\ x \not\in S)\}=\emptyset</math>; dato che <math>S \subseteq U</math>, abbiamo che<math>\{x|(x \in S\ oppure\ x \in U)\ e\ (x \in S\ oppure\ x \not\in S)\}=\{x|x \in U\ e\ (x \in S\ oppure\ x \not\in S)\}</math>; Dato che <math>(x \in S\ oppure\ x \not\in S)</math> è una tautologia classica, deduciamo che <math>\{x|x \in U\ e\ (x \in S\ oppure\ x \not\in S)\}=\{x|x \in U\}=U</math>;
#<math>S_1=S_2</math> sse <math>\overline{S_1}=\{x|x \in U\ e\ x \not\in S_1\}=\{x|x \in U\ e\ x \not\in S_2\}=\overline {S_2}</math>, sostituendo <math>S_1</math> con <math>S_2</math> per l'uguaglianza;
#Dato che <math>S_1 \subseteq S_2</math>, per assorbimento dell'unione abbiamo che <math>S_2=S_1 \cup S_2</math>, quindi, per la legge di De Morgan, <math>\overline{S_2}=\overline{S_1 \cup S_2}=\overline{S_1} \cap \overline{S_2}</math>, dunque, per assorbimento dell'intersezione, <math>\overline{S_2}=\overline{S_1} \cap \overline{S_2}</math> sse <math>\overline{S_2} \subseteq \overline{S_1}</math>.
== Insieme potenza ==
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