Logica matematica/Insiemi: differenze tra le versioni
Contenuto cancellato Contenuto aggiunto
Riga 101:
#<math>S_1=\{x|x \in S_1\} \subseteq \{x|x \in S_1\ oppure\ x \in S_2\}=S_1 \cup S_2</math>;
#analoga alla precedente.
==== Unione di famiglie di insiemi ====
Sia <math>\mathcal F</math> un insieme i cui elementi sono insiemi, cioè sia <math>\mathcal F</math> una famiglia di insiemi. L'unione di tali insiemi è l'insieme<blockquote><math>\bigcup\mathcal F=\{x|x \in X,\text{per qualche } X \in \mathcal F\}</math>.</blockquote>Nel caso in cui abbiamo una famiglia di insiemi <math>\{S_i|i \in \N\}</math>, scriviamo l'unione di tali insiemi <math>\bigcup_{i \in \N}S_i</math> o, più semplicemente, <math>\bigcup_i S_i</math>.
Line 134 ⟶ 137:
# <math>S_1 \cup (S_2 \cap S_3)=(S_1 \cup S_2) \cap (S_1 \cup S_3)</math>.
''Dimostrazione''<blockquote>1. <math>S_1 \cap (S_2 \cup S_3)</math></blockquote><blockquote><math>=\{x|x \in S_1\ e\ x \in (S_2 \cup S_3)\}</math></blockquote><blockquote><math>=\{x|x \in S_1\ e\ (x \in S_2\ oppure\ x \in S_3)\}</math></blockquote><blockquote><math>=\{x|(x \in S_1\ e\ x \in S_2)\ oppure\ (x \in S_1\ e\ x \in S_3)\}</math></blockquote><blockquote><math>=\{x|x \in (S_1 \cap S_2)\ oppure\ x \in (S_1 \cap S_3)\}</math></blockquote><blockquote><math>=(S_1 \cap S_2) \cup (S_1 \cap S_3)</math>;</blockquote><blockquote>2. <math>S_1 \cup (S_2 \cap S_3)</math></blockquote><blockquote><math>=\{x|x \in S_1\ oppure\ x \in (S_2 \cap S_3)\}</math></blockquote><blockquote><math>=\{x|x \in S_1\ oppure\ (x \in S_2\ e\ x \in S_3)\}</math></blockquote><blockquote><math>=\{x|(x \in S_1\ oppure\ x \in S_2)\ e\ (x \in S_1\ oppure\ x \in S_3)\}</math></blockquote><blockquote><math>=\{x|x \in (S_1 \cup S_2)\ e\ x \in (S_1 \cup S_3)\}</math></blockquote><blockquote><math>=(S_1 \cup S_2) \cap (S_1 \cup S_3)</math>.</blockquote>
==== Intersezione di famiglie di insiemi ==== Sia <math>\mathcal F</math> un insieme i cui elementi sono insiemi, cioè sia <math>\mathcal F</math> una famiglia di insiemi. L'intersezione di tali insiemi è l'insieme<blockquote><math>\bigcap\mathcal F=\{x|x \in X,\text{per ogni } X \in \mathcal F\}</math>.</blockquote>Nel caso in cui abbiamo una famiglia di insiemi <math>\{S_i|i \in \N\}</math>, scriviamo l'intersezione di tali insiemi <math>\bigcap_{i \in \N}S_i</math> o, più semplicemente, <math>\bigcap_i S_i</math>. === Complementazione ===
Sia dato un insieme <math>U</math>, che chiamiamo ''universo''. La differenza di un sottoinsieme <math>S</math> di <math>U</math> rispetto a <math>U</math> si chiama ''complemento di <math>S</math> in'' <math>U</math>, oppure ''complemento di <math>S</math>'', se l'insieme <math>U</math> può essere sottinteso. Per indicare il complemento di <math>S</math> scriviamo <math>\overline S</math>. In modo intensionale, definiamo il complemento di <math>S</math> come:<blockquote><math>\overline S=\{x|x \in U\ e\ x \not\in S\}</math>.</blockquote>
== Insieme potenza ==
| |||