Algebra 2/Complementi di algebra/Equazioni e disequazioni con moduli: differenze tra le versioni

 
== Disequazioni con valore assoluto ==
 
'''Primo caso''': 
disequazioni nella forma <math>\left|f(x)\right|<k</math> con <math> k>0 </math>.
 
La disequazione si risolve studiando l’unione dei due sistemi
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}{f(x)\ge 0}\\{f(x)<k}\end{array}\right.\cup\left\{\begin{array}{l}{f(x)< 0}\\{f(x)>-k}\end{array}\right.</math>
}}
che hanno soluzioni <math> 0\le f(x)<k\;\vee\; -k<f(x)<0 </math> cioè:
{{Testo centrato|
<math>-k<f(x)<k\quad \text{ o anche }\quad\left\{\begin{array}{l}{f(x)< k}\\{f(x)>-k}\end{array}\right..</math>
}}
 
{{Algebra1/Esempio1| Risolvere la seguente disequazione <math>\left|x^2-1\right|<3</math>.<br />
 
La disequazione diventa <math>-3<x^2-1<3</math> oppure
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}{x^2-1<3}\\{x^2-1>-3}\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x^2<4}\\{x^2>-2}\end{array}\right..</math>
}}
 
La prima disequazione <math>x^2<4</math> è verificata per <math>-2<x<2</math>.<br />
 
La seconda è sempre verificata perché il quadrato <math>x^2</math> è sempre maggiore di un numero negativo. L’insieme soluzione della disequazione assegnata è quindi <math>-2<x<2.</math>
}}<br />
 
'''Secondo caso''':&emsp;
disequazioni nella forma <math>\left|f(x)\right|>k</math> con <math> k>0 </math>.
 
Per il procedimento svolto nel caso precedente queste disequazioni si trasformano sempre nelle disequazioni
{{Testo centrato|
<math>f(x)<-k\;\vee\; f(x)>k.</math>
}}
 
{{Algebra1/Esempio1| Risolvere la seguente equazione <math>\left|x^2-4\right|>4.</math><br />
 
L’equazione diventa <math>x^2-4<-4\;\vee\; x^2-4>4</math>. Spostando <math>-4</math> al secondo membro otteniamo <math>x^2<0\;\vee\; x^2>8.</math><br />
 
La prima disequazione <math>x^2<0</math> non ha soluzioni in quanto il quadrato <math>x^2</math> non può essere minore di 0. La seconda ha per soluzioni <math>x<-2\sqrt 2\;\vee\; x>2\sqrt {2}.</math>
}}
 
=== Disequazioni in cui l’incognita si trova anche fuori dal modulo ===
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