Algebra 2/Complementi di algebra/Sistemi non lineari: differenze tra le versioni
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=== Sistemi non simmetrici riconducibili a sistemi simmetrici ===
Rientrano in questa classe i sistemi che, pur non essendo simmetrici, possono essere trasformati, mediante opportune sostituzioni, in sistemi simmetrici. Naturalmente questi sistemi si possono risolvere anche con la procedura solita di sostituzione per i sistemi di secondo grado.
{{Algebra1/Esempio1| Risolvere il sistema <math>\left\{\begin{array}{l}{x-y=8}\\{{xy}=-15}\end{array}\right..</math><br />
Mediante la sostituzione <math>y'=-y</math> otteniamo <math>\left\{\begin{array}{l}{x+y'=8}\\{xy'=15}\end{array}\right.</math> che è un sistema simmetrico fondamentale.<br />
L’equazione risolvente è <math>t^2-8t+15=0</math> le cui soluzioni sono <math>t_1=3\vee t_2=5</math>, pertanto il sistema ha le soluzioni
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}{x_1=3}\\
{{y_1}'=5}\end{array}\right.\vee
\left\{\begin{array}{l}{x_2=5}\\
{{y_2}'=3}\end{array}\right..</math>
}}
Dall’uguaglianza <math>y'=-y\Rightarrow y=-y'</math> otteniamo le soluzioni del sistema dato
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}{x_1=3}\\
{y_1=-5}\end{array}\right.\vee
\left\{\begin{array}{l}{x_2=5}\\
{y_2=-3}\end{array}\right..</math>
}}
}}
{{Algebra1/Esempio1| Risolvere il sistema <math>\left\{\begin{array}{l}{2x-3y=8}\\{{xy}=2}\end{array}\right..</math><br />
Mediante la sostituzione <math>x'=2x</math> e <math>y'=-3y</math> da cui <math>x=\tfrac{x'} 2</math> e <math>y=-\tfrac{y'} 3</math> otteniamo
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}{x'+y'=8}\\
{\tfrac{x'} 2\cdot \left(-\tfrac{y'} 3\right)=2}\end{array}\right.
\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{x'+y'=8}\\
{x'y'=-12}\end{array}\right.</math>
}}
che è un sistema simmetrico fondamentale.<br />
Risolviamo il sistema simmetrico <math>\left\{\begin{array}{l}{x'+y'=8}\\{x'y'=-12}\end{array}\right.</math> con la procedura nota. L’equazione risolvente è <math>t^2-8t-12=0</math> le cui soluzioni sono <math>t_{1\text{,}2}=4\pm 2\sqrt 7</math>; pertanto il sistema ha le soluzioni:
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}{x_1'=4-2\sqrt 7}\\
{y_1'=4+2\sqrt 7}\end{array}\right.\vee
\left\{\begin{array}{l}{x_2'=4+2\sqrt 7}\\
{y_2'=4-2\sqrt 7}\end{array}\right..</math>
}}
Dalle sostituzioni <math>x=\tfrac{x'} 2</math> e <math>y=-\tfrac{y'} 3</math> otteniamo le soluzioni del sistema iniziale
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}{x_1=\tfrac{4-2\sqrt 7} 2=2-\sqrt 7}\\
{y_1=\tfrac{-4-2\sqrt 7} 3}\end{array}\right.\vee
\left\{\begin{array}{l}{x_2=\tfrac{4+2\sqrt 7} 2=2+\sqrt 7}\\
{y_2=\tfrac{-4+2\sqrt 7} 3}\end{array}\right..</math>
}}<br />
'''Procedura di sostituzione''' 
Ricaviamo una delle due incognite dall’equazione di primo grado e sostituiamola nell’altra equazione
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}{2x-3y=8} \\{{xy}=2}\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{y=\tfrac{2x-8} 3}\\{{xy}=2}\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{y=\tfrac{2x-8} 3}\\{x\left(\tfrac{2x-8} 3\right)=2}\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{y=\tfrac{2x-8} 3}\\{2x^2-8x-6=0}\end{array}\right..</math>}}
Risolviamo l’equazione <math>2x^2-8x-6=0</math> avente come soluzioni <math>x_1=2-\sqrt 7\vee x_2=2+\sqrt 7</math>. Sostituiamo i valori trovati e ricaviamo i valori della <math>y:</math>
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}{x_1=2-\sqrt 7}\\{y_1=\tfrac{-4-2\sqrt 7} 3}\end{array}\right.\vee \left\{\begin{array}{l}{x_2=2+\sqrt 7}\\{y_2=\tfrac{-4+2\sqrt 7} 3}\end{array}\right..</math>
}}
}}
=== Sistemi simmetrici di grado superiore al secondo ===
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