Algebra 1/Insiemi Logica Relazioni/Insiemi: differenze tra le versioni

 
== Sottoinsieme ==
Consideriamo l’insieme <math>A</math> degli abitanti di Milano e l’insieme <math>B</math> degli abitanti di Milano con età superiore ai 40 anni. Gli abitanti ultra quarantenni di Milano fanno parte della popolazione di Milano, cioè tutti gli elementi dell’insieme <math>B</math> sono anche elementi di <math>A</math>: si dice che <math>B</math> è sottoinsieme di <math>A</math> e si scrive <math>B\subseteq A</math>.
 
{{Algebra1/Definizione| Dati due insiemi <math>X</math> e <math>Y</math>, si dice che <math>Y</math> è un ''sottoinsieme'' di <math>X</math> se ogni elemento di <math>Y</math> è anche elemento di <math>X</math>. In simboli: <math>Y\subseteq X</math>, che si legge “<math>Y</math> è incluso in <math>X</math>” o “<math>Y</math> è sottoinsieme di <math>X</math>”. }}
 
La rappresentazione con un diagramma di Eulero-Venn è la seguente:
 
[[File:Algebra1 ins fig005 Venn.svg|center|Definizione diagramma Eulero-Venn]]
 
Se <math>a</math> è un elemento del sottoinsieme <math>Y</math>, allora lo sarà anche dell’insieme <math>X</math>:
 
se <math>a\in Y</math> e <math>Y\subseteq X</math>, allora <math>a\in X</math>oppure <math>a\in Y</math> e <math>Y\subseteq X \Rightarrow a\in X</math>.
 
Dalla stessa definizione, si deduce che ogni insieme è sottoinsieme di se stesso, in simboli <math>X\subseteq X</math>.
 
Nel caso in cui tutti gli elementi di <math>Y</math> siano elementi di <math>X</math> e tutti gli elementi di <math>X</math> siano elementi di <math>Y</math> si ha che <math>X=Y</math>, e <math>Y</math> si dice ''sottoinsieme improprio'' di <math>X</math>. Se <math>X\subseteq Y</math> e <math>Y\subseteq X</math>, allora <math>Y=X</math>.
 
Tra i sottoinsiemi di un insieme si considera anche l’insieme vuoto. Cioè, qualunque sia l’insieme <math>X</math> risulta <math>\emptyset \subseteq X</math>. Quindi l’insieme vuoto è considerato un sottoinsieme improprio di qualunque insieme.
 
Se <math>Y</math> è un sottoinsieme non vuoto di <math>X</math> e <math>X</math> ha altri elementi oltre a quelli di <math>Y</math> si dice che <math>Y</math> è un ''sottoinsieme proprio'' di <math>X</math> e si scrive <math>Y\subset X</math>.
 
La scrittura <math>Y\subseteq X</math> si usa quando non si sa in modo certo se <math>Y=X</math> o meno.
 
{{Algebra1/Esempio1| Consideriamo l’insieme <math>X=\{</math>lettere della parola “autunno”<math>\}</math> e l’insieme <math>Y=\{</math>lettere della parola “notaio”<math>\}</math>; possiamo affermare che ogni elemento di <math>Y</math> è anche elemento di <math>X</math>? La risposta è negativa, infatti <math>\text{i}\in Y</math> ma <math>\text{i}\notin X</math> quindi <math>Y</math> non è sottoinsieme di <math>X</math> e si scrive <math>Y\not\subset X</math>.}}
 
{{Algebra1/Esempio1| Sia <math>A</math> l’insieme delle lettere dell’alfabeto italiano e <math>V</math> l’insieme delle vocali, allora si può scrivere <math>V\subset A</math>; cioè <math>V</math> è un sottoinsieme proprio di <math>A</math>, come si può anche vedere dalla rappresentazione grafica.
[[File:Algebra1 ins fig006 lett.svg|center|Rappresentazione con diagramma di Eulero-Venn di sottoinsieme]]
}}
 
{{Algebra1/Esempio1| Sia <math>C=\{1\}</math>, allora <math>C</math> non ha sottoinsiemi propri; mentre i suoi sottoinsiemi impropri sono <math>C=\{1\}</math> e l’insieme vuoto <math>\emptyset </math>.|}}
 
{{Algebra1/Esempio1| Sia <math>A</math> l’insieme delle auto esposte in un autosalone e <math>U</math> l’insieme delle auto usate esposte nello stesso autosalone. Si ha che <math>U</math> è un sottoinsieme di <math>A</math>, ma senza avere ulteriori informazioni non possiamo escludere che tutte le auto esposte siano usate, dobbiamo perciò scrivere <math>U\subseteq A</math>. Se invece sappiamo che nessuna auto esposta è usata, allora <math>U=\emptyset </math>.}}
 
== Insieme delle parti ==
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