Esercizi di fisica con soluzioni/Dinamica dei corpi rigidi: differenze tra le versioni
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===17. Un tubo che rotola===
Un tubo di raggio interno <math>r_1=10\ cm\ </math> ed esterno <math>r_2=20\ cm\ </math>, lungo <math>\ell =5\ cm\ </math> e densità uniforme <math>\rho=2.7\ g/cm^3\ </math>, viene lasciato rotolare da fermo lungo
una discesa (un piano inclinato con angolo <math>\theta =20^o\ </math> rispetto al piano orizzontale) da una altezza <math>h=3\ m\ </math>.
Il tubo rotola con moto di puro rotolamento.
Determinare : a) la massa del tubo ; b) il momento di inerzia del tubo; c) la accelerazione nel moto in discesa; d) la accelerazione durante il moto in discesa se viene applicato anche un momento frenante di <math>M_f=5\ Nm\ </math>; e) il coefficiente di attrito minimo che permette il moto di rotolamento con il momento frenante.
<span class="noprint">[[#17. Un tubo che rotola_2|→ Vai alla soluzione]]</span>
== Soluzioni ==
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Quindi l'energia dissipata per attrito vale:
:<math>\Delta E=E_o-E_f=12\ J\ </math>
===17. Un tubo che rotola===
<span class="noprint">[[#17. Un tubo che rotola|→ Vai alla traccia]]</span>
a)
La massa totale è:
:<math>m=\int_{r_1}^{r_2}\rho \ell 2\pi r dr=\rho\ell \pi(r_2^2-r_1^2)=12.7\ kg\ </math>
b)
:<math>I_z=\int_{r_1}^{r_2}\rho \ell 2\pi r^3dr=\frac {\rho\ell \pi}2(r_2^4-r_1^4)=0.318 \ kgm^2\ </math>
c)
Le equazioni cardinali del moto sono:
:<math>ma=mg\sin \theta-f_a\ </math>
:<math>I_z\alpha =f_ar_2\ </math>
essendo il moto di puro rotolamento:
:<math>r_2\alpha =a\ </math>
Quindi la II equazione cardinale diventa:
:<math>\frac {I_z a}{r_2^2}=f_a\ </math>
Che sommata alla I equazione cardinale:
:<math>ma+\frac {I_z a}{r_2^2}=mg\sin \theta\ </math>
:<math>a=\frac {g\sin \theta}{1+I_z/mr_2^2}=2.06\ m/s^2\ </math>
d)
Se è presente un momento frenante l'equazioni cardinali diventano:
:<math>ma=mg\sin \theta-f_a\ </math>
:<math>I_z\alpha =f_ar_2-Mf\rightarrow \frac {I_z a}{r_2^2}=f_a-\frac {M_f}{r_2}\ </math>
che sommate e risolte per <math>a\ </math>:
:<math>a=\frac {g\sin \theta-M_f/(mr_2)}{1+I_z/mr_2^2}=0.86\ m/s^2\ </math>
e)
Essendo
:<math>f_a=m(g\sin {\theta}-a)\ </math>
Quindi se:
:<math>f_a\le \mu_s mg\cos{\theta}\ </math>
:<math>\mu_s\ge \frac {g\sin {\theta}-a}{g\cos{\theta}}=0.27\ </math>
[[Categoria:Esercizi di fisica con soluzioni|Dinamica corpi rigidi]]
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