Differenze tra le versioni di "Matematica per le superiori/Introduzione ai numeri reali"

 
==Radicali quadratici==
=== Denominatore con un radicale quadratico ===
 
=== Denominatore con un radicale qualsiasi ===
 
Nel caso più generale della forma:
 
:<math>\frac{b}{\sqrt[n]{a^m}}</math>
 
con ''n''&nbsp;>&nbsp;''m'', il fattore razionalizzante è <math>\sqrt[n]{a^{n-m}}</math>. Infatti:
 
:<math>\frac{b}{\sqrt[n]{a^m}}\cdot\frac{\sqrt[n]{a^{n-m}}}{\sqrt[n]{a^{n-m}}} = \frac{b\sqrt[n]{a^{n-m}}}{\sqrt[n]{a^{n}}} = \frac{b\sqrt[n]{a^{n-m}}}{a}</math>
 
=== Somma o differenza di due radicali quadratici ===
 
Le frazioni della forma:
 
:<math>\frac{c}{\sqrt{a} \pm \sqrt{b}}</math>
 
ricordando il [[prodotto notevole]] <math>(a + b)(a - b) = a^2 - b^2 </math>, si razionalizzano come segue:
 
:<math>\frac{c\cdot(\sqrt{a} \mp \sqrt{b})}{(\sqrt{a} \pm \sqrt{b})(\sqrt{a} \mp \sqrt{b})} = \frac{c\cdot(\sqrt{a} \mp \sqrt{b})}{a - b}</math>
 
Lo stesso accorgimento funziona ovviamente anche quando nel denominatore vi sono somme come <math>a \pm \sqrt{b}</math> o somme di 3 o più radicali quadratici. Ad esempio:
 
:<math>\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}}{(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}}{2\sqrt{6}} = \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})\sqrt{6}}{12}</math>
 
=== Somma o differenza di due radicali cubici ===
 
Le frazioni della forma:
 
:<math>\frac{c}{\sqrt[3]{a} \pm \sqrt[3]{b}}</math>
 
si risolvono facilmente ricorrendo ai prodotti notevoli:
 
:<math>(a \pm b) (a^2 \mp ab + b^2) = a^3 \pm b^3</math>
 
Infatti:
 
:<math>\frac{c}{\sqrt[3]{a} \pm \sqrt[3]{b}} = \frac{c(\sqrt[3]{a^2} \mp \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2})}{(\sqrt[3]{a} \pm \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2} \mp \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2})} = \frac{c(\sqrt[3]{a^2} \mp \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2})}{a \pm b}</math>
 
Anche in questo caso, il procedimento funziona bene anche per denominatori della forma <math>a \pm \sqrt[3]{b}</math> o simili.
 
=== Operazioni fondamentali ===
Esistono delle proprietà fondamentali delle radici che vengono elencate di seguito:
* <math>\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[m\cdot n]{a}</math>
* <math>(\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m}</math> purché n dispari infatti se a<0 il primo non esiste mentre il secondo se m=numero pari esiste
* <math>a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}</math>
* <math>a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}</math>
* <math>\sqrt{a\pm\sqrt{b}}=\sqrt{ \frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}\pm\sqrt{ \frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}} </math> ''(Radicali quadratici doppi)''
 
dove <math>a</math> e <math>b</math> sono numeri positivi. Nell'ultima uguaglianza, è anche richiesto che <math> a^2>b </math>.
 
Per ogni [[numero complesso]] <math>a</math> diverso da 0, ci sono <math>n</math> diversi numeri complessi <math>b</math> tali che <math>b^n=a</math>, quindi il simbolo <math>\sqrt[n]{a}</math> non può essere usato univocamente. Se <math>a=1</math>, parliamo di [[radice dell'unità|radici n-esime dell'unità]].
 
=== Casi particolari ===
La radice <math>n</math>-esima di 0 è uguale a 0, perché 0, elevato ad <math>n</math>, è uguale a 0; nel caso in cui però <math>n</math> sia zero la radice non ha soluzioni reali, in quanto ogni numero elevato a zero è uguale ad uno, inoltre zero elevato a zero non ha significato.
 
==Potenze a esponente razionale==
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