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Teoria dei segnali/Segnali nel tempo: differenze tra le versioni

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==Segnali nel tempo==
 
===Segnali a tempo continuo}===
Un segnale a tempo continuo (o segnale continuo) è una funzione che associa ad ogni istante $<math>t \in \Re$</math> un valore;
$<math>x(t) : \Re \rightarrow \Re$</math> è un \emph{''segnale analogico}'';
un segnale a tempo continuo i cui valori sono tutti multipli interi di un valore minimo è detto \emph{''segnale quantizzato}'';
se il segnale è definito solo in un intervallo di tempo limitato, allora si suppone nullo al di fuori di questo intervallo
 
 
====Proprietà elementari}====
\emph{''Energia}'' normalizzata del segnale
<math>
\begin{equation}
E _{x(t)} = \intI \mid x(t) \mid ^{2} dt
</math>
\end{equation}
 
\emph{''Potenza}'' normalizzata del segnale
<math>
\begin{equation}
P _{x(t)} =
\lim_{T \rightarrow +\infty}
\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{+T/2} \mid x(t) \mid ^{2} dt
</math>
\end{equation}
Un segnale a energia finita ha potenza nulla,
un segnale a potenza finita ha energia infinita
 
Per \emph{''normalizzato}'' si intende che la potenza e l'energia sono riferite convenzionalmente ad una impedenza unitaria
(che quindi non appare nelle formule)
 
Valor medio del segnale
<math>
\begin{equation}
\M_{x(t)} = \lim_{T \rightarrow +\infty}
\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{+T/2} \mid x(t) \mid dt
</math>
\end{equation}
 
Se un segnale ha durata limitata allora potenza, energia e valor medio sono valutati solo nell'intervallo di esistenza del segnale, invece che per tutti i valori reali del tempo
(altrimenti avrebbero sempre valore nullo)
 
La \emph{''durata}'' di un segnale corrisponde all'intervallo di tempo in cui il segnale è definito,
 
l'\emph{''ampiezza}'' di un segnale corrisponte all'intervallo di valori che questo assume
 
Un segnale a tempo continuo è \emph{''periodico} se esiste un valore minimo $<math>T_{p}$</math> tale che $<math>x(t) = x(t + iT_{p}'')$</math> per ogni $<math>t$</math>,
$<math>T_{p}$</math> è detto \emph{''periodo} ''
ed il suo inverso $<math>f_{p} = 1/T_{p}$</math> è detta \emph{''frequenza fondamentale}'';
se questa proprietà non è soddisfatta un segnale si dice in generale \emph{''aperiodico}''
 
La potenza di un segnale periodico può essere valutata più semplicemente come
<math>
\begin{equation}
P_{x(t + iT_{p})} = \frac{1}{T_{p}} \int _{[T_{p}]} \mid x(t) \mid ^{2} dt
</math>
\end{equation}
un segnale periodico
(che non sia sempre nullo)
ha energia infinita
 
Anche la valutazione del valore medio può essere semplificata
<math>
\begin{equation}
\M_{x(t + iT_{p})} = \frac{1}{T_{p}} \int _{[T_{p}]} x(t) dt
</math>
\end{equation}
 
 
====Segnali comuni}====
Diamo qui le espressioni analitiche di alcuni segnali a tempo continuo che si ritrovano comuneemente.
 
 
\begin{itemize}
*Gradino unitario
\item
<math>
Gradino unitario
\gra{t} =
\begin{equation}
\left\{
\gra{t} =
\left\{
\begin{array}{ll}
1 & \mbox{per $<math>t > 0$</math>} \\
1/2 & \mbox{per $<math>t = 0$</math>} \\
0 & \mbox{per $<math>t < 0$</math>}
\end{array}
\right.
</math>
\end{equation}
 
*Segno
\item
<math>
Segno
\sgn{t} =
\begin{equation}
\left\{
\sgn{t} =
\left\{
\begin{array}{ll}
1 & \mbox{per $<math>t > 0$</math>} \\
0 & \mbox{per $<math>t = 0$</math>} \\
-1 & \mbox{per $<math>t < 0$</math>}
\end{array}
\right.
</math>
\end{equation}
 
*Costante
\item
<math>
Costante
x(t) = A
\begin{equation}
</math>
x(t) = A
\end{equation}
 
*Esponenziale unilatero
\item
<math>
Esponenziale unilatero
\begin{equation}
\left\{ \begin{array}{ll}
\e{-\frac{t}{\tau}} & \mbox{per $<math>t \geq 0$</math>} \\
0 & \mbox{per t < 0} \\
\end{array} \right.
</math>
\end{equation}
 
*Esponenziale bilatero
\item
<math>
Esponenziale bilatero
\begin{equation}
\e{-\frac{\mid t \mid}{\tau}}
</math>
\end{equation}
 
*Esponenziale complesso
\item
<math>
Esponenziale complesso
\begin{equation}
\e{-j 2 \pi f_{0} t}
</math>
\end{equation}
 
*Cosinusoide di frequenza <math>f_{p}</math> e fase <math>\theta</math>
\item
<math>
Cosinusoide di frequenza $f_{p}$ e fase $\theta$
\begin{equation}
\cos{(2\pi f_{p} t + \theta)}
</math>
\end{equation}
 
*Impulso rettangolare di ampiezza unitaria e durata <math>\tau</math>
\item
<math>
Impulso rettangolare di ampiezza unitaria e durata $\tau$
\rect{t}{\tau} =
\begin{equation}
\left\{
\rect{t}{\tau} =
\left\{
\begin{array}{ll}
1 & \mbox{per $<math>\mid t \mid \leq \tau/2$</math>} \\
0 & \mbox{altrimenti}
\end{array}
\right.
</math>
\end{equation}
 
*Impulso triangolare di ampiezza unitaria e durata <math>2\tau</math>
\item
<math>
Impulso triangolare di ampiezza unitaria e durata $2\tau$
\tri{t}{\tau} =
\begin{equation}
\trileft( 1 - \frac{t}{\tau} =\right) \rect{t}{2\tau} =
\left\{
\left( 1 - \frac{t}{\tau} \right) \rect{t}{2\tau} =
\left\{
\begin{array}{ll}
\frac{1}{\tau} \left( 1 - \frac{\mid t \mid}{\tau} \right)
& \mbox{per $<math>\mid t \mid \leq\tau$</math>} \\
0 & \mbox{altrimenti}
\end{array}
\right.
</math>
\end{equation}
 
 
\end{itemize}
 
 
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===Segnali a tempo discreto===
Un \emph{''segnale a tempo discreto} (o segnale discreto) è definito solo per alcuni valori del tempo multipli di un \emph{intervallo di segnalazione} $<math>T_{s}$''</math>,
il suo insieme di esistenza è quindi numerabile,
$<math>x(nT_{s}) : \Int \rightarrow \Re$</math>
 
Si può sottintendere l'intervallo di segnalazione e trattare i segnali discreti come \emph{''sequenze}'' numeriche $<math>x[n]$</math>(ovvero come ''vettori'' numerici)
(ovvero come \emph{vettori} numerici)
 
Un segnale a tempo discreto i cui valori sono tutti multipli interi di un valore minimo è detto \emph{''segnale digitale}''
 
 
====Proprietà fondamentali}====
Alcune proprietà dei segnali discreti differiscono nella loro definizione dalle corrispondenti proprietà dei segnali continui
 
Energia normalizzata del segnale
<math>
\begin{equation}
E_{x[n]} = \sum _{n = -\infty} ^{+\infty} x^{2}[n]
</math>
\end{equation}
 
Potenza normalizzata del segnale
<math>
\begin{equation}
P_{x[n]} = \lim_{N \rightarrow +\infty} \frac{1}{2N-1}
\sum_{n = -N}^{+N} x^{2}[n]
</math>
\end{equation}
 
Un segnale a tempo discreto è \emph{''periodico} se esiste un valore minimo $<math>N_{p} \in \Int$</math> tale che $<math>x[n] = x[n + iN_{p}'']$</math> per ogni $<math>n$</math>
 
La potenza di un segnale periodico può essere valutata più semplicemente come
<math>
\begin{equation}
P_{x[n+iN_{p}]} = \frac{1}{N} \sum _{n = 0} ^{N-1} x^{2}[n] dt
</math>
\end{equation}
 
 
====Segnali comuni}====
Se si restringe la definizione dei segnali a tempo continuo per $<math>t = nT_{s}$</math>, si ottengono i corrispondenti segnali a tempo discreto
 
\begin{itemize}
 
 
\item
*Gradino unitario a tempo discreto
<math>
\begin{equation}
\dgra{n} =
\left\{
\begin{array}{ll}
1 & \mbox{per $<math>n \geq 0$</math>} \\
0 & \mbox{per $<math>n < 0$</math>} \\
\end{array}
\right.
</math>
\end{equation}
 
*
\item
Delta di Kroncker
<math>
\begin{equation}
\delta[n] =
\left\{
\begin{array}{ll}
1 & \mbox{per $<math>n = 0$</math>} \\
0 & \mbox{per $<math>n \not= 0$</math>} \\
\end{array}
\right.
</math>
\end{equation}
 
 
*Segno
\item
<math>
Segno
\dsgn{n} =
\begin{equation}
\left\{
\dsgn{n} =
\left\{
\begin{array}{ll}
1 & \mbox{per $<math>n \geq 0$</math>} \\
-1 & \mbox{per $<math>n < 0$</math>} \\
\end{array}
\right.
</math>
\end{equation}
 
*Impulso rettangolare di ampiezza unitaria e durata <math>N</math>
\item
<math>
Impulso rettangolare di ampiezza unitaria e durata $N$
\drect{n}{N} =
\begin{equation}
\left\{
\drect{n}{N} =
\left\{
\begin{array}{ll}
1 & \mbox{per $<math>0 \leq n \leq N-1$</math>} \\
0 & \mbox{altrove}
\end{array}
\right.
</math>
\end{equation}
 
\end{itemize}
Estratto da "https://it.wikibooks.org/wiki/Teoria_dei_segnali/Segnali_nel_tempo"