Analisi complessa/Integrali nel campo complesso: differenze tra le versioni
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;definizione
Gli integrali di funzioni a variabile complessa vengono definiti lungo dei '''percorsi''' di integrazione, in modo analogo agli integrali curvilinei per le funzioni reali di più variabili. Occorre quindi per prima cosa considerare delle curve parametriche in <math>C</math>, definibili come
:<math>z(t)=x(t)+
un arco di curva è un tratto con <math>z</math> definita per <math>t \in [a,b] \subseteq R</math>, continua.
*si dice '''semplice''' se
::<math>z(t_1)=z(t_2)\iff t_1=t_2\!</math>
:(la curva non ha ''autointersezioni''), e '''chiuso''' se
::<math>z(a)=z(b)\!</math>
{{Nota
|allineamento =destra
|larghezza = 350px
|titolo = Notazioni
|contenuto = Con
*<math>C^{1}([a,b])\!</math>
viene indicato l'insieme delle funzioni continue e derivabili, con derivata continua, nell'insieme [a,b]
}}
*Si dice '''regolare''' se
::<math>z\in C^{1}([a,b])</math>
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;Definizione
:Per ogni arco di curva semplice e regolare <math>z(t)</math> è possibile definirne la '''lunghezza''' come l'integrale
::<math>L=\int_{a}^{b}|z'(t)|dt</math>
===Teorema===
La definizione di lunghezza appena data è indipendente dalla parametrizzazione; considerando la curva parametrica
:<math>\tilde{z}(\tau)=z(\phi(\tau))</math> dove :<math>\phi (\tau ) : [\alpha,\beta] \rightarrow \R</math> è una funzione con derivata continua mai uguale a zero (in modo da garantire che mappi in maniera biunivoca <math>[\alpha,\beta]</math> su <math>[a,b]</math>), :<math>L=\int_{a}^{b}|z'(t)|dt=\int_{\alpha}^{\beta}|\tilde{z}'(\tau)|d\tau</math>
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