Analisi complessa/Prodotto scalare e spazi di Hilbert: differenze tra le versioni
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Si dimostrano una serie di importanti teoremi che riguardano i sottspazi di Hilbert:
;Teorema 2.5.8:Ogni sottoinsieme non vuoto, chiuso e convesso E di uno spazio di Hilbert ''X'' contiene un solo elemento di norma minima, <math>\bar{y}\in E</math> tale che <math>||\bar{y}||=\inf_{x\in E}||x||</math>
;Teorema 2.5.9:Sia M un sottospazio di X. Esiste una ed una sola coppia di applicazioni lineari:
:*<math>P:X\longrightarrow M</math>
:*<math>Q:X\longrightarrow M^{\bot{}}</math>
Con le seguenti proprietà:
#<math>\forall x \in X\quad x=Px+Qx</math>
#<math>\forall x\in M\quad x=Px, Qx=0</math><br></br><math>\forall x\in M^{\bot{}}\quad x=Qx, \quad Px=0</math>
#<math>\forall x\in X\quad ||x-Px||=\inf_{y\in M}||x-y||</math>
#<math>||x||^2=||Px||^2+||Qx||^2\!</math>
Si dice cge P e Q proiettano ''x'' sui sottospazi <math>M \mbox{ e } M^{\bot{}}</math>.
;Corollario 2.5.10: Se <math>M\neq X</math> allora <math>M^{\bot{}}</math> non è vuoto e contiene almeno un elemento diverso da 0.
Abbiamo mostrato che <math><x,y>\!</math> è un funzionale lineare continuo; un teorema molto importante mostra come tutti i funzionali lineari su X possano essere espressi in questo modo.
;Teorema 2.5.11: Se ''L'' è un funzionale lineare su X, e <math>\ker{L}\neq X</math>, allora:
::<math>\dim(\ker(L))^{\bot{}}=1</math>.
;Teorema 2.5.12: Se L è un funzionale lineare continuo su X, allora vi è uno ed uno solo <math>y\in X</math> tale che:
::<math>Lx=<x,y>,\quad\forall x\in X</math>
==Insieme ortonormale==
;Definizione: Un insieme <math>u_{\alpha}</math> di vettori di uno spazio di Hilbert H, dove <math>\alpha \in A</math> è un indice (discreto o continuo), è detto '''ortonormale''' se
::<math>\forall \alpha, \beta\in A\quad <u_{\alpha},u_{\beta}>=\delta_{\alpha,\beta}</math>
;Teorema 2.5.14.:Se <math>U=\left\{u_{\alpha} \right\}_{\alpha\in A}</math> è un insieme ortonormale, <math>\left\{u_{i}\right\}_{i=1}^k</math> un qualsiasi sottoinsieme finito di vettori di ''U'' e <math>x=\sum_{i=0}^k c_i u_i</math> è una combinazione lineare di vettori di tale sottoinsieme, allora <math>c_i=<x,u_i>\!</math> e <math>||x||^2=\sum_{i=1}^k |c_i|^2</math>
;Corollario: Dato che <math>x=0\iff c_i=0\quad \forall i</math> e per ogni sottoinsieme finito <math>\left\{u_i \right\}_{i=1}^k</math> ogni insieme ortonormale è '''indipendente'''.
Sia <math>V=\left\{v_i\right\}_{i=1}^k</math> un insieme finito di vettori linearmente indipendenti appartenenti allo spazio di Hilbert X, si cercano i coefficienti che minimizzano:
*<math>\left\Vert x-\sum_{i=1}^k c_i v_i\right\Vert</math>.
Se si considera che ogni sottospazio finito dimensionale di uno spazio di Hilbert X è chiuso allora il '''teorema 2.5.9''' ci garantisce l'esistenza di un unico elemento che minimizza tale norma, <math>x_0=Px\!</math> e che
:<math>x-x_0\in <V>^{\bot{}}</math>. Da queste semplici considerazioni è possibile ricavare il seguente teorema:
;Teorema 2.5.17: Sia <math>\left\{u_\alpha\right\}_{\alpha\in A}</math> un insieme ortonormale in X, e <math>x\in X</math> allora:
::<math>\left\Vert x-\sum_{i=1}^k <x,u_i> u_i\right\Vert\leq\left\Vert x-\sum_{i=1}^k \lambda_iu_i\right\Vert</math>,
e l'uguaglianza vale solo se <math>\lambda_i=<x,u_i>\!</math>;
::<math>\sum_{i=1}^k <x,u_i> u_i</math>
è la '''proiezione ortogonale''' di x sul sottospazio generato dagli <math>u_i</math>,<math>\delta</math> la distanza tra ''x'' ed il sottospazio allora
::<math>\sum_{i=1}^k |<x,u_i>|^2=||x||^2-\delta ^2</math>
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