Meccanica dei fluidi/Legge di Archimede e esperienza di Torricelli

Legge di Archimede

La legge di Archimede è una legge sperimentale antica, che viene attribuita al genio siracusano vissuto nel III secolo a.C. La legge, ricavata empiricamente, afferma che un corpo immerso in un fluido in quiete riceve una spinta dal basso verso l'alto pari al peso del fluido spostato, applicata al baricentro del fluido spostato.

In parole semplici, ogni volta che inseriamo un corpo in un fluido in quiete, questo sposta una parte di quel fluido, la quale ha un proprio peso, e questo peso è pari alla forza che il fluido esercita sul corpo. Questa legge spiega anche perché molti materiali galleggiano se immersi in acqua. Vediamone la dimostrazione.

Consideriamo prima il fluido, in quiete, senza un corpo immerso, e prendiamo in analisi un volume ben definito $V$, che non sia un infinitesimo ma che abbia delle dimensioni proprie e apprezzabili anche macroscopicamente. Poiché il fluido è in quiete, tutte le forze di superficie esercitate sul volume sono forze di pressione, mentre la forza di volume è proprio la forza peso. Poiché il fluido è in quiete e la somma delle forze deve essere nulla, conoscendo la direzione della forza peso, possiamo infine affermare che la risultante delle forze di pressione ${\vec {F}}_{A}$ è diretta verso l'alto. Quindi, per la prima legge cardinale dei sistemi avremo che:

${\begin{aligned}&{\vec {F}}_{A}+{\vec {F}}_{P}=0\\&|{\vec {F}}_{A}|=\rho _{f}gV\end{aligned}}$

Se invece abbiamo un corpo immerso, di cui prendiamo un volume pari al volume di fluido prima analizzato, la forza di volume cambia, è pari infatti alla forza peso del corpo $P_{c}=\rho _{c}Vg$. Però, la forza di superficie resta la stessa, perché, invece che il corpo materiale, è come se vi fosse ancora il volume d'acqua, ovvero $F_{A}=\rho _{f}Vg$. Avremo quindi che la risultate delle forze

$R=(\rho _{f}-\rho _{c})Vg\quad {\begin{cases}&{\text{Se }}\rho _{f}>\rho _{c}{\text{ va verso l'alto e il corpo galleggia}}\\&{\text{Se }}\rho _{f}<\rho _{c}{\text{ va verso il basso e il corpo affonda}}\end{cases}}$

Tutto dipende quindi dalla densità del corpo, non dal suo peso o volume: una piccola pallina di ferro affonderà comunque, mentre una grande tavola di legno galleggerà comunque. La spinta di Archimede è proprio la legge sfruttata per permettere alle enormi navi di galleggiare: poiché la loro densità complessiva è inferiore di quella dall'acqua, queste non affondano. Possiamo anche calcolare il filo del galleggiamento: quando un corpo galleggia, presenterà una parte di volume immersa, mentre il restante è fuori dall'acqua. Chiamato $V_{i}$ il volume immerso, avremo che:

${\begin{aligned}&F_{A}=F_{P}\Rightarrow \,\rho _{f}V_{i}g=\rho _{c}Vg{\frac {V_{i}}{V}}={\frac {\rho _{c}}{\rho _{f}}}<1\end{aligned}}$

In questo caso, c'è equilibrio e il corpo galleggia. Possiamo fare un esempio veloce, ovvero quello dell'iceberg. Conosciuta la densità del ghiaccio e dell'acqua di mare, rispettivamente $\rho _{a}=1.025g/cm^{3}$, possiamo calcolare il volume immerso pari a:

${\frac {V_{i}}{V}}={\frac {\rho _{g}}{\rho _{a}}}=0.895$

Ovvero circa il 90% del volume dell'iceberg è immerso.

Esperienza di Torricelli

Come è lecito pensare, anche l'atmosfera terrestre è un fluido, composto da diversi elementi chimici, distribuiti più o meno uniformemente. Anche questa esercita una pressione sulla superficie terrestre, e il primo che riuscì a calcolarla fu Torricelli, sfruttando quello che venne poi chiamato barometro di Torricelli.

Lo strumento in figura qui sopra ha lo scopo di misurare la pressione atmosferica, sfruttando la legge di Stevino. Esso è composto da un tubo di vetro verticale, in cui è inserito un fluido (mercurio, che a temperatura ambiente è liquido) che viene ribaltato su una vasca. Il fluido inizia a fuoriuscire e riversarsi in essa, per poi fermarsi e restare in equilibrio. Infatti, i punti con la stessa quota, a contatto con la superficie, sono soggetti alla pressione atmosferica. Il punto del fluido più in alto, rimasto nel tubo, ha invece pressione nulla: nello spazio tra fluido e tubo si è venuto a creare il vuoto, azzerando la pressione. In realtà, dire che vi è il vuoto in quel piccolo spazio è un'approssimazione, poiché vi sarà in realtà vapore saturo di mercurio. Considerando quel punto a pressione zero, possiamo calcolare la differenza di pressione fra il punto più alto e il punto più basso nel tubo che, ricordiamo, ha pressione pari a quella atmosferica. Avremo quindi:

$P(z)=P_{0}+\rho gh$

Chiamiamo $P_{0}$ la pressione nel punto più basso, ovvero quella atmosferica. La pressione nel punto più alto, che chiameremo $c$ è nulla, ovvero:

$P_{c}=0=\rho gh+P_{0}$

Da cui deriva immediatamente:

$P_{0}=\rho gh=1.02\cdot 10^{5}{\text{ Pa}}$

L'altezza misurata nel tubo è pari a 0.76 m 0.76 m, mentre la densità del mercurio è 13.6 g/cm³. La scelta del mercurio come liquido è dovuta proprio a questa sua caratteristica di essere un liquido molto denso: si sarebbe potuto utilizzare un qualsiasi altro fluido, anche l'acqua, ma avrebbe richiesto un tubo alto circa 10 000 metri, cosa assai scomoda da costruire all'epoca. Il mercurio, invece, permetteva all'esperienza di riuscire anche con un tubo di vetro alto appena 1 metro.

Dopo questa esperienza, il millimetro di mercurio, che ha come simbolo mmHg, è diventato un'unità di misura della pressione. Anche l'atmosfera, il cui simbolo è atm, è un'unità di misura della pressione largamente utilizzata in chimica. I loro rispettivi valori sono:

$760mmHg=1.02\cdot 10^{5}Pa\quad 1atm=1.02\cdot 10^{5}Pa$