Gravitazione/Teorema di Gauss per il campo gravitazionale

Il teorema di Gauss per il campo gravitazionale mette in relazione diversi fattori; uno di questi è il flusso di un vettore attraverso una superficie, che definiamo immediatamente. Inoltre, la dimostrazione del teorema di Gauss prevede conoscenze di analisi matematica in più variabili, di cui faremo a meno, cercando di dare una dimostrazione egualmente valida.

Definizione

Dato un campo vettoriale ${\vec {v}}$ che attraversa una superficie $S$, si definisce flusso di ${\vec {v}}$ attraverso $S$:

$\Phi _{v}:=\int _{S}{\vec {v}}\cdot {\hat {n}}\,dS$

Diamo alcune spiegazioni e considerazioni su questa definizione.

1. Il flusso di un vettore non è un vettore, ma uno scalare, poiché risultato di un integrale.
2. L'integrale è un integrale di superficie.
3. Si divide la superficie in infinitesimi $dS$, si calcola il flusso su ognuno di essi e si sommano assieme, riunendo il tutto nel segno di integrale.
4. ${\hat {n}}$ è il versore normale all'infinitesimo di superficie e ha quindi modulo unitario, direzione perpendicolare alla superficie nel punto e verso definito dal flusso (uscente o entrante).
5. In ogni punto della superficie cambiano sia il vettore ${\vec {v}}$ che il versore ${\hat {n}}$.

Teorema di Gauss per il campo gravitazionale

Il flusso del campo gravitazionale uscente da una superficie chiusa non dipende né dalla superficie né dalla posizione del corpo che genera il campo ma dipende solo dalla massa contenuta nella superficie.

La dimostrazione di questo teorema richiede conoscenze di analisi in più variabili che, di solito, non sono in possesso dello studente quando affronta per la prima volta lo studio della gravitazione. Diamo qualche definizione e strumento per procedere.

Definizione

Come per la definizione di angolo vale la relazione:

${\frac {s_{1}}{r_{1}}}={\frac {s_{2}}{r_{2}}}=\alpha$

dove $s_{1,2}$ sono gli archi di circonferenza e $r_{1,2}$ sono i raggi, vale la seguente relazione per archi di superficie:

${\frac {S_{1}}{r_{1}^{2}}}={\frac {S_{2}}{r_{2}^{2}}}=\Omega$

dove $S_{1,2}$ sono gli archi di superficie. $\Omega$ si chiama angolo solido e il suo valore massimo è $4\pi$, infatti:

$\Omega _{\text{max}}={\frac {4\pi r^{2}}{r^{2}}}=4\pi$

(La superficie di una sfera vale $4\pi r^{2}$)

Inoltre, come per gli integrali di funzione a una variabile, vale che:

$\int _{S}dS=S$

Ovvero la somma degli infinitesimi di superficie corrisponde alla superficie stessa. Allo stesso modo:

$\int _{S}d\Omega =\Omega _{\text{max}}$

Perché la somma degli infinitesimi di angolo solido di una superficie chiusa, come nel caso presente, è uguale a un angolo solido massimo.

Possiamo ora procedere con la dimostrazione del teorema.

Sfruttiamo la definizione di flusso:

$\Phi _{v}:=\int _{S}{\vec {v}}\cdot {\hat {n}}\,dS$

Nel nostro caso, il vettore è il campo gravitazionale ${\vec {g}}=-G{\frac {M}{r^{2}}}{\hat {r}}=-g{\hat {r}}$, quindi:

$\Phi _{g}=\int _{S}{\vec {g}}\cdot {\hat {n}}\,dS=-\int _{S}g{\hat {r}}\cdot {\hat {n}}\,dS$

Il segno meno del campo gravitazionale è stato portato direttamente fuori dal segno di integrale. Analizziamo il prodotto scalare ${\hat {r}}\cdot {\hat {n}}$. I versori hanno entrambi modulo uguale a $1$, quindi il loro prodotto scalare ${\hat {r}}\cdot {\hat {n}}=rn\cos \theta =\cos \theta$, dove $\theta$ è ovviamente l'angolo compreso tra i due. Quindi è lecito scrivere:

$\Phi _{g}=-\int _{S}g\cos \theta \,dS$

Prendiamo adesso in analisi l'infinitesimo di superficie $dS$; posso tracciare un infinitesimo di superficie che sia perpendicolare al raggio, che chiamerò $dS_{\perp }$. Poiché l'angolo tra l'infinitesimo della superficie chiusa e l'infinitesimo di superficie perpendicolare corrisponde all'angolo tra i versori ${\hat {r}}$ e ${\hat {n}}$, l'area dell'infinitesimo perpendicolare $dS_{\perp }$ vale proprio $dS_{\perp }=dS\cos \theta$. Quindi il flusso può anche essere scritto come:

$\Phi _{g}=-\int _{S}gdS{\perp }$

A $g$ sostituiamo il suo valore numerico, ovvero:

$\Phi =-\int _{S}GM{\frac {dS_{\perp }}{r^{2}}}$

A questo punto, posso confondere, nell'infinitesimo, la superficie perpendicolare con quella di una sfera; quindi la somma totale, ovvero l'integrale, di tutti i $dS_{\perp }$ è la circonferenza di una sfera. A questo punto sfrutto la definizione di angolo, sostituendo a ${\frac {dS_{\perp }}{r^{2}}}$ l'infinitesimo di angolo solido $d\Omega$ ottenendo la formula finale del flusso:

$\Phi _{g}=-GM\int _{S}{\frac {dS_{\perp }}{r^{2}}}=-GM\int _{S}d\Omega$

Il valore finale calcolato è quindi:

$\Phi _{g}=-4\pi GM$

Che è il valore del flusso del campo gravitazionale di una massa racchiusa in una superficie. Come volevasi dimostrare, esso è indipendente sia dalla posizione del corpo generante il campo che dalla superficie che lo racchiude: questo vuol dire che, preso un corpo con massa, qualsiasi superficie chiusa che lo contenga avrà un flusso di campo gravitazionale pari a $-4\pi GM$.

Considerazioni del teorema di Gauss

La prima domanda che ci si pone, dopo aver studiato il teorema di Gauss, è la seguente: e se la massa fosse esterna alla superficie? Il teorema di Gauss parla effettivamente di massa interna, ma può accadere di voler calcolare il flusso di una massa esterna a una superficie chiusa attraverso la superficie stessa.

Il caso particolare è molto semplice. Della superficie chiusa prendo un piano che sia perpendicolare alla congiungente con la massa. Questo piano divide la superficie in due superfici $S_{1}$ e $S_{2}$ le quali hanno, rispetto alla massa, i versori ${\hat {n}}_{1,2}$ opposti in versi opposti; quindi il flusso avrà modulo uguale per entrambe le superfici, dettato dal teorema di Gauss, ma in un caso sarà positivo, nell'altro negativo. Quindi, per calcolare il flusso attraverso la superficie totale, basta sommarli entrambi, ottenendo che il flusso di un campo gravitazionale generato da una massa esterna attraverso una superficie chiusa è nullo.

Un'altra domanda che ci si pone è: e se le masse fossero più di una? In questo caso anche il vettore ${\vec {g}}$ è diverso, infatti vale:

${\vec {g}}={\vec {g_{1}}}+{\vec {g_{2}}}+\cdots +{\vec {g_{n}}}=\sum _{i=1}^{n}{\vec {g_{i}}}$

Quindi il flusso totale vale:

$\Phi _{\text{tot}}=\int _{S}{\vec {G_{\text{tot}}}}\cdot {\hat {n}}\,dS=\sum _{i=1}^{n}\int _{S}{\vec {g_{i}}}\cdot {\hat {n}}=\sum _{i=1}^{n}\Phi _{g_{1}}$

Ricordando il valore del flusso dettato dal teorema di Gauss:

$\Phi _{g}=-4\pi GM\quad \Rightarrow \,\Phi _{\text{tot}}=-4\pi G\sum _{i=1}^{n}M_{i}$

che è concorde con l'enunciato del teorema. Questa considerazione è molto importante perché permette di calcolare facilmente il flusso gravitazionale di sistemi di punti materiali il cui vettore campo gravitazionale potesse essere difficile da calcolare; un caso immediato a cui poterlo applicare è per calcolare il campo gravitazionale della Terra, la quale, come già detto nel capitolo precedente, non può assolutamente essere approssimata a un punto materiale.

Il campo gravitazionale terrestre

Per calcolare il campo gravitazionale terrestre sfrutto il valore del flusso attraverso una superficie chiusa che contenga la Terra. Per evidenti ragioni di comodità prenderemo questa superficie sferica di raggio $r$ e centrata nel centro della Terra, la quale, come sappiamo, è in realtà un geoide e non una sfera perfetta (ma vedremo che questo particolare è irrilevante). Ricordiamo che ${\vec {g}}=-g(r){\hat {r}}$.

Calcoliamo prima il flusso partendo dalla definizione stessa di flusso:

$\Phi =\int _{S}{\vec {g}}\cdot {\hat {n}}\,dS$

Sostituiamo a ${\vec {g}}$ il suo valore. Poiché la superficie chiusa presa in analisi è sferica, i versori ${\hat {r}}$ e ${\hat {r}}$ sono paralleli, perché entrambi perpendicolari alla superficie in ogni punto. In particolare, essendo versori, sono uguali, quindi il loro prodotto scalare è ${\hat {r}}\cdot {\hat {n}}=1\cdot 1\,\cos 0=1$. Quindi:

$\Phi =-g(r)\int _{S}{\hat {r}}\cdot {\hat {n}}\,dS=-g(r)\int _{S}dS=-4\pi r^{2}g(r)$

Adesso sfruttiamo invece il teorema di Gauss, che ci dice che il flusso attraverso la superficie gaussiana presa in considerazione vale:

$\Phi =-4\pi GM_{T}$

Dove $M_{T}$ è ovviamente la massa della Terra. Eguagliando i due flussi trovati:

$-4\pi GM_{T}=-4\pi r^{2}g(r)$

Possiamo calcolare il campo gravitazionale terrestre in funzione della distanza dal centro della Terra:

$g(r)=G{\frac {M_{T}}{r^{2}}}$

Poiché abbiamo preso una superficie sferica, esso sarà sempre uguale in modulo, per simmetria sferica, con direzione radiale e verso entrante, quindi, per scrivere il campo in forma vettoriale basta sfruttare la simmetria sferica ottenendo:

${\vec {g}}=-G{\frac {M_{T}}{r^{2}}}{\hat {r}}\qquad {\mbox{con }}r>R_{T}$

Questo risultato è di importanza rilevante, perché qualsiasi oggetto in prossimità della superficie della Terra è soggetto a un campo gravitazionale che dipende esclusivamente dalla sua distanza dal centro della Terra: è quindi lecito pensare alla massa terrestre come se fosse tutta concentrata al centro di essa, poiché il flusso del campo gravitazionale non dipende da dove si trova la massa e, quindi, possiamo scegliere per comodità quel punto privilegiato.

Il campo gravitazionale all'interno della Terra

Una domanda utile da porsi è: e se il punto in cui voglio calcolare il campo è interno alla massa? Per esempio, si vuole calcolare il campo gravitazionale terrestre a 200 km di profondità. Avremo in questo che $r<R_{T}$, dove con $r$ calcoliamo la distanza del punto dal centro della Terra. Come fatto per il calcolo del campo in un punto esterno alla Terra, o in prossimità della sua superficie, calcoliamo il flusso del campo in due modi: sfruttando prima la definizione di flusso, per poi passare al teorema di Gauss, confrontando infine i due risultati ottenuti.

Partiamo dalla definizione di flusso. Prendiamo una superficie sferica, con centro in corrispondenza del centro della Terra, che passi per il punto in cui si vuole calcolare il campo. Avremo che il campo $g(r)$ dipende solo dalla distanza dal centro; come sopra, per simmetria sferica la direzione è radiale e il verso entrante, quindi possiamo scrivere il campo in formula vettoriale:

${\vec {g}}=-g(r){\hat {r}}$

Sostituendo nella formula del flusso perveniamo allo stesso risultato calcolato poco fa:

$\Phi _{g}=\int _{S}{\vec {g}}\cdot {\hat {n}}\,dS=-g(r)4\pi r^{2}$

Sfruttiamo adesso il teorema di Gauss; questo ci dice che il flusso uscente è pari a:

$\Phi _{g}=-4\pi Gm(r)$

Perché in questa formula è presente $m(r)$? Ciò è dovuto al fatto che la massa da considerare è solo quella contenuta nella superficie, che sarà quindi diversa dalla massa totale della Terra; sarà essa una funzione della distanza dal centro $r$. Possiamo calcolare il valore di questa massa solo facendo un'importante assunzione: assumiamo cioè che la densità della Terra sia uniforme, e non dipenda dalla distanza dal centro. Come sappiamo, ciò non è vero, ma possiamo per ora compiere questa assunzione per giungere a un valore teorico valido.

Avremo quindi che la densità, definita come $\rho ={\frac {M_{T}}{V}}={\frac {M}{{\frac {4}{3}}\pi R^{3}}}$, è uniforme; calcoliamo $m(r)$:

$m(r)=\rho \,V={\frac {M}{{\frac {4}{3}}\pi R^{3}}}\cdot {\frac {4}{3}}\pi r^{3}=M{\frac {r^{3}}{R^{3}}}$

Si ricorda che con $R$ si indica il raggio totale della Terra; sostituiamo questo valore nella formula del flusso secondo il teorema di Gauss:

$\Phi _{g}=-4\pi GM{\frac {r^{3}}{R^{3}}}$

A questo punto, dobbiamo solo confrontare i due risultati:

${\begin{aligned}&-4\pi GM{\frac {r^{3}}{R^{3}}}=-g(r)4\pi r^{2}\\&g(r)=G{\frac {M}{R^{3}}}r\end{aligned}}$

Ricordando la formula vettoriale, possiamo infine scrivere vettorialmente il campo gravitazionale all'interno della Terra, che sarà pari a:

${\vec {g}}=-G{\frac {M}{R^{3}}}r\,{\hat {r}}\qquad {\mbox{con }}r<R$