Gravitazione/Energia di campo gravitazionale

Energia gravitazionale

Sappiamo che una qualsiasi massa $M$ esercita su un corpo di massa $m$ una forza attrattiva pari a ${\vec {f_{g}}}=-G{\frac {Mm}{R^{2}}}\,{\hat {r}}$.

Per ovvi vantaggi prendo un sistema di riferimento con origine degli assi nel punto in cui si trova la massa $M$ generatrice della forza; il vettore ${\vec {r}}$ distanza delle due masse sarà quindi il vettore posizione del corpo $m$ in questo sistema di riferimento.

Se il corpo si muove lungo una traiettoria, allora la forza gravitazionale compie un lavoro; vogliamo calcolarlo.

$L_{AB}=\int _{A}^{B}{\vec {f_{g}}}\cdot d{\vec {s}}=\int _{A}^{B}\left(-G{\frac {Mm}{r^{2}}}\right){\hat {r}}\cdot d{\vec {s}}$

Il prodotto scalare ${\hat {r}}\cdot d{\vec {s}}$ è la proiezione dell'infinitesimo di spostamento sulla direzione radiale, e corrisponde a $dr$. Il lavoro diventa infine:

${\begin{aligned}&L_{AB}=-GMm\int _{A}^{B}{\frac {dr}{r^{2}}}=GMm\,\left[{\frac {1}{r}}\right]_{A}^{B}\\&L_{AB}=GMm\left({\frac {1}{r_{B}}}-{\frac {1}{r_{A}}}\right)\end{aligned}}$

Quindi il lavoro della forza gravitazionale non dipende dal percorso compiuto ma solo dagli estremi $A$ e $B$. Per definizione di forza conservativa, la forza gravitazionale risulta essere una forza conservativa. Posso quindi definire un'energia potenziale:

$L_{AB}=-\Delta U=U_{i}-U_{f}=U(A)-U(B)$

Definizione

Si definisce quindi energia potenziale gravitazionale

$U(r)=-G{\frac {Mm}{r}}+{\text{cost}}$

Ricordiamo che la scelta dell'energia potenziale è arbitraria (simmetria di gauge globale), quindi alla costante aggiunta può essere assegnato qualsiasi valore. Se scegliamo il valore più comodo, ovvero ${\text{cost}}=0$, poniamo che l'energia gravitazionale all'infinito è nulla, ovvero:

$\lim _{r\to \infty }U(r)=0$

Energia della forza peso

Sappiamo che la forza peso è un caso particolare della forza gravitazionale; preso un sistema di riferimento $S=(O,x,y,z)$, possiamo esprimere il vettore del campo gravitazionale in prossimità della superficie:

${\vec {g}}=(0,0,-g)$

Dove $g=-G{\frac {M_{T}}{R_{T}^{2}}}\approx 9.81{\frac {m}{s^{2}}}$. Possiamo calcolare il lavoro della forza peso, per definire quindi una sua energia potenziale:

$L_{AB}=\int _{A}^{B}{\vec {f_{P}}}\cdot d{\vec {s}}=-mg\int _{A}^{B}dz=mg(z_{A}-z_{B})$

Quindi avremo:

Definizione

L'energia potenziale della forza si definisce come:

$U({\vec {P}})=mgz+{\text{cost}}$

Anche in questo caso, la scelta dell'energia è arbitraria. Scegliere la costante nulla vuol dire che l'energia sarà nulla quando la quota del corpo sarà nulla, rispetto al sistema di riferimento preso (può essere preso un sistema di riferimento la cui quota nulla sia al livello del mare, così come può esserne preso un altro con quota nulla a 100 metri di altitudine).

Velocità di fuga

Nel lancio di un grave che abbia una componente della velocità iniziale verticale, deve esistere un limite per cui, se la componente verticale lo supera, il corpo sfuggirebbe al campo gravitazionale terrestre; quel limite viene chiamato velocità di fuga. In questo calcolo che faremo trascureremo le resistenze dell'aria e tratteremo la Terra come un sistema di riferimento inerziale.

Per prima cosa, calcoliamo l'energia meccanica al momento del lancio, quando $r=R_{T}$:

$E_{i}=K+U={\frac {1}{2}}mv_{0}^{2}-G{\frac {M_{T}m}{r}}$

Se il corpo sfugge al campo terrestre, arriverà a un punto in cui è così distante da far sì che $U$ possa essere trascurata; per semplicità, immaginiamo che, una volta sfuggito al campo gravitazionale, il corpo proceda di moto rettilineo senza subire altre forze. A quel lontanissimo punto, l'energia avrà solo la componente cinetica, ovvero:

$E_{f}={\frac {1}{2}}mv^{2}$

Poiché sappiamo che l'energia meccanica si conserva, l'energia iniziale sarà uguale all'energia finale. Ma, poiché l'energia finale ha solo la componente cinetica che, per definizione, è positiva, questo vuol dire che anche l'energia iniziale è positiva, ovvero:

${\frac {1}{2}}mv_{0}^{2}-G{\frac {M_{T}m}{R_{T}}}\geq 0\,\Rightarrow {\frac {1}{2}}mv_{0}^{2}\geq G{\frac {M_{t}m}{R_{T}}}$

Da questa formula possiamo calcolare che la velocità iniziale risulterà essere:

$v_{0}\geq {\sqrt {2G{\frac {M_{T}}{R_{T}}}}}$

Il valore ${\sqrt {2G{\frac {M_{T}}{R_{T}}}}}$ si chiama velocità di fuga e, date le costanti:

${\begin{aligned}&G=6.66t\cdot 10^{-}11\;N{\frac {m^{2}}{kg^{2}}}\\&M_{T}=5.97\cdot 10^{2}4kg\\&R_{T}=6.37\cdot 10^{6}m\end{aligned}}$

possiamo calcolarla, e si avrà che:

$v_{f}={\sqrt {2G{\frac {M_{T}}{R_{T}}}}}=11200{\frac {m}{s}}=40000{\frac {km}{h}}$

Qualsiasi corpo con velocità verticale superiore a questo valore sfuggirà quindi al campo terrestre. È immediato notare che il valore è molto alto (quasi 40 volte la velocità del suono) quindi, così come avviene per il lancio di razzi verso lo spazio, è conveniente spingere il corpo lungo tutta la sua ascesa, piuttosto che fornire un impulso tale da conferirgli quelle velocità fin da quando è sulla superficie terrestre.