Geometria per scuola elementare/Il teorema di congruenza lato-angolo-lato

Geometria per scuola elementare
Bisettrice di un angolo Il teorema di congruenza lato-angolo-lato Bisezione di un segmento


Introduzione

modifica

In questo capitolo, discuteremo di un altro teorema (o criterio) di congruenza: questa volta avremo a che fare con il criterio lato-angolo-lato. Il teorema è basato sull'esposizione presente nel Libro I, proposizione 4 degli Elementi.


Il criterio di congruenza lato-angolo-lato

modifica

Dati due triangoli   e   che abbiano uguali due lati, cioè:

  1. Il lato   è uguale a  
  2. Il lato   è uguale a  

e che abbiano uguali anche gli angoli compresi fra questi due lati, vale a dire:

  1. L'angolo   è uguale all'angolo  

Allora i triangoli sono congruenti e quindi anche gli altri lati ed angoli sono uguali.

Dimostrazione

modifica

Useremo il metodo di sovrapposizione – muovendo un triangolo sull'alto e mostrando che coincidono.

Non useremo la costruzione che già conosciamo per copiare linee e segmenti ma sposteremo il triangolo tutto insieme.

  1. Sovrapponi   su   in modo che A vada a finire su D   vada a finire su  .
  2. Sappiamo che   è uguale a  .
  3. Per cui, B deve coincidere con E.
  4. Sappiamo poi che l'angolo   è uguale a  .
  5. Perciò,   va a finire su  .
  6. Inoltre sappiamo che   è uguale  .
  7. Quindi, C deve coincidere con F.
  8. Perciò,   coincide con  .
  9. I triangoli   e   coincidono.
  10. I triangoli   e   sono congruenti.