Fondamenti di automatica/Sistemi

Fondamenti di automatica
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  1. SistemiFondamenti di automatica/Sistemi
  2. Sistemi lineari tempoinvariantiFondamenti di automatica/Sistemi lineari tempoinvarianti
  3. Proprietà e prestazioniFondamenti di automatica/Proprietà e prestazioni
  4. Metodi di analisiFondamenti di automatica/Metodi di analisi
  5. Modelli di sistemi comuniFondamenti di automatica/Modelli di sistemi comuni
  6. Controllo di sistemi lineariFondamenti di automatica/Controllo di sistemi lineari

Forma canonica dei sistemiModifica

Un sistema generico non lineare MIMO (Multiple-Input Multiple-Output), variante nel tempo e proprio è descritto dalle equazioni:

 

dove:

  •   è il vettore di stato;
  •   è il vettore di ingresso;
  •   è il tempo;
  •   è il vettore di uscita;
  •   e   sono campi vettoriali (che si suppongono normalmente analitici).

Si considera poi   l'istante iniziale e   lo stato iniziale (che spesso si suppone noto).

  è detto movimento libero dello stato (l'evoluzione dello stato a partire da uno stato iniziale per ingresso nullo);

  è detto movimento forzato dello stato (l'evoluzione dello stato a partire da uno stato iniziale nullo);

Classificazione dei sistemiModifica

I sistemi dinamici descritti precedentemente in forma canonica possono essere classificati [1] in vari modi sulla base delle proprietà delle funzioni   e  

Si dicono sistemi monovariabili[1] o SISO i sistemi dotati di una sola variable di ingresso e di una sola variabile di uscita scalari (   );

i sistemi con più ingressi o uscite si dicono sistemi multivariabili o MIMO

Sono sistemi strettamente propri [1] i sistemi la cui uscita dipende solo dallo stato e non dipende dall'ingresso ( ); sistemi per cui l'uscita dipende anche dall'ingresso direttamente sono detti sistemi propri; sistemi propri possono essere trasformati in un sistema strettamente proprio equivalente aggiungendo una variabile allo stato

Un sistema è tempo-invariante o stazionario [2] se l'evoluzione dell'uscita e dello stato in un dato istante non dipende dal tempo in cui quell'istante si colloca, ovvero le funzioni   e   non dipendono dalla variabile tempo  ;

Un sistema è lineare [3] quando sia l'uscita che la variazione dello stato sono combinazioni lineari dell'ingresso e dello stato; per un sistema lineare vale il principio di sovrapposizione degli effetti [4]

LinearizzazioneModifica

È spesso preferibile trattare problemi lineari, esistono metodi per ricondurre sistemi non lineari a sistemi lineari [5]

Se supponiamo che le funzioni   e   siano sufficientemente regolari nell'intorno di un punto   è possibile approssimarle nell'intorno di quel punto con il loro sviluppo di Taylor arrestato al termine di primo grado. [6]

Se ci troviamo a trattare problemi non lineari, ci si restringe nell'intorno di un punto di equilibrio del sistema, ovvero tale che  , e si approssimano tutte le funzioni a funzioni lineari.

Si suppone che i coefficienti del sistema non varino nel tempo.

Sistemi lineari che abbiano più di un ingresso o più di un'uscita possono sempre essere espressi come composizione di sistemi SISO, in quanto è valido il principio di sovrapposizione degli effetti

Quando è possibile ci si riconduce a sistemi lineari tempoinvarianti SISO.

NoteModifica

  1. 1,0 1,1 1,2 Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; 35 Sezione 2.3: Classificazione dei sistemi dinamici
  2. Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; 37
  3. Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; 37
  4. Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; 45, sezione 2.5: Sistemi lineari
  5. Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; pagina 183, section 4-7: Linearization of nonlinear systems
  6. Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pagina 48, sezione 2.6: Linearizzazione