Fondamenti di automatica/Modelli di sistemi comuni
Modelli di sistemi comuni
modificaAmplificatore
modificaConsiste in un unico elemento che ha guadagno costante
Ritardo di tempo
modificaUn sistema ritardo di tempo [1] [2] è usato per rappresentare la non immediata risposta dei sistemi reali. Un sistema che ritarda la risposta di secondi è rappresentato dalla funzione di trasferimento
Un ritardo puro non introduce variazioni di ampiezza ma diminuisce linearmente la fase al crescere di [3] ed ha effetti negativi sulla stabilità di un sistema in anello chiuso.
È possibile approssimare il ritardo con funzioni razionali fratte scrivendo la funzione esponenziale come serie di Mc Laurin se è sufficientemente piccolo
Integratore
modificaUn sistema integratore [4] ha un solo polo nell'origine
Derivatore
modificaUn sistema derivatore [5] ha un solo zero e nessun polo,
non è quindi un sistema causale, ma esistono sistemi reali che si comportano approssimativamente come derivatori ideali, ovvero sistemi del primo ordine (o di ordine superiore) con poli dominanti a frequenze elevate ed un solo zero a bassa frequenza.
Sistemi del primo ordine
modificaUn sistema del primo ordine ha un solo polo e al massimo uno zero
Dove è detto tempo caratteristico del sistema.
Risposta al gradino
modificaLa risposta al gradino di un sistema del primo ordine generico [6] può essere calcolata esplicitamente; ha un andamento esponenziale
;
la velocità di risposta del sistema dipende dalla sua costante di tempo , il transitorio si può considerare esaurito dopo circa cinque costanti di tempo; la presenza di uno zero influenza il valore iniziale della risposta e può causare una sovraelongazione iniziale se .
I parametri della risposta al gradino sono:
- tempo di salita:
- tempo di ritardo:
- tempo di assestamento
Sistemi del secondo ordine
modificaConsideriamo un sistema che abbia due poli e nessuno zero. Sono di particolare interesse solo i sistemi con poli stabili complessi coniugati; ci sono altri sistemi con due poli, ma o sono instabili oppure si possono ricondurre a somma di sistemi del primo ordine.
Se i poli sono complessi coniugati negativi stabili, questi valgono
Parametri caratteristici
modificaI simboli usati nella funzione di trasferimento del sistema di secondo grado precedente significano: [7]
- :
pulsazione naturale non smorzata, modulo dei poli se questi sono complessi coniugati [8]
- :
smorzamento, opposto del coseno della fase dei poli se questi sono complessi coniugati negativi
- :
fattore di smorzamento, parte reale dei poli
- :
pulsazione smorzata, parte immaginaria dei poli
il tipo dei poli dipende dallo smorzamento
- : due poli reali instabili, se coincidenti: sistema instabile
- : due poli complessi coniugati instabili: sistema instabile
- : due poli immaginari puri: sistema criticamente smorzato
- : due poli positivi complessi coniugati stabili: sistema smorzato (è questo il caso di maggiore interesse)
- : due poli positivi reali stabili, se coincidenti: sistema sovrasmorzato
Per i sistemi smorzati con smorzamento esiste un picco di risonanza [9] il cui valore dipende dallo smorzamento in corrispondenza della frequenza di risonanza L'entità del picco di risonanza è inversamente proporzionale allo smorzamento. Se lo smorzamento è maggiore di allora e
La banda [10] di un sistema smorzato del secondo ordine è
Risposta al gradino dei sistemi smorzati
modificaLa risposta di un sistema ad un ingresso gradino unitario o risposta al gradino [11] [12] può essere usata per valutare le prestazioni di un sistema
- Sovraelongazione massima:
[13] Se il sistema è smorzato ( ) la risposta al gradino ha un comportamento oscillatorio periodico con massimi e minimi ai tempi per intero, il valore della sovraelongazione dipende solo dallo smorzamento ed è il tempo in cui si raggiunge il massimo è
- Tempo di ritardo:
[14] Si calcola un valore approssimato del tempo necessario alla risposta a raggiungere la metà del valore di regime
- Tempo di salita:
[15] Si calcola un valore approssimato del tempo necessario alla risposta ad andare dal 10\% al 90\% del suo valore di regime
- Tempo di assestamento:
[16] si calcola un valore approssimato del tempo dopo cui la risposta non differisce di più del 5\% dal valore di regime
Se si desidera un assestamento al del valore di regime, si considera
Relazioni tra i parametri
modificaEsistono delle dipendenze tra i parametri caratteristici del sistema e i parametri della sua risposta al gradino [17]
- Al crescere di la distanza dei poli dall'origine aumenta
- Al crescere di diminuisce l'angolo tra i poli e l'asse reale negativo rispetto all'origine
- Al crescere di il tempo di ritardo diminuisce e il sistema risponde più rapidamente
- Al crescere di il tempo di ritardo aumenta e il sistema risponde più lentamente
- La banda è direttamente proporzionale alla pulsazione naturale non smorzata e inversamente proporzionale al tempo di salita ,
per cui aumentando la banda il sistema risponde più rapidamente
- Al crescere del picco di risonanza aumenta la sovraelongazione massima
Riduzione dell'ordine dei sistemi
modificaPoli dominanti
modificaSi possono trascurare in fase di valutazione delle specifiche poli o zeri a frequenze molto elevate rispetto agli altri \vedilibro{rif:k}{422, sezione 7.8: Dominant poles of transfer function}
Note
modifica- ↑ Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 105, sezione 4.2.5: Ritardo di tempo
- ↑ Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 189, sezione 4-8: Systems with transportation lag
- ↑ Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 881, Bode plot: Pure time delay
- ↑ Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; sezione 4.3.3: Integratore
- ↑ Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 107, sezione 4.3.2: Derivatore ideale
- ↑ Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 112, sezione 4.4.4: Sistemi del primo ordine
- ↑ Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 390, figura 7.15
- ↑ Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 108, sezione 4.3.5: Pulsazione naturale e smorzamento
- ↑ Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 544, sezione 9-2-1: Resonant peak and resonant frequency
- ↑ Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 547, sezione 9-2-2: Bandwidth
- ↑ Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 387, sezione 7-5: Transient response of a prototype second-order system
- ↑ Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 119, sezione 4.4.5 parte terza: Sistemi con solo poli complessi coniugati
- ↑ Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 394, sezione 7-5-3: Maximum overshoot
- ↑ Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 396, sezione 7-5-4: Delay time and rise time
- ↑ Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 396, sezione 7-5-4: Delay time and rise time
- ↑ Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 398, sezione 7-5-5: Settling time
- ↑ Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 550, figura 9-7