Fondamenti di automatica2/Modellistica di sistemi dinamici elettromeccanici

I sistemi elettromeccanici operano una conversione elettromeccanica:

• motori elettrici: convertono l'energia elettrica in energia meccanica;
• generatori elettrici (o dinamo elettriche): convertono l'energia meccanica in energia elettrica.

In questo capitolo verrà trattato il motore elettrico alimentato in corrente continua (DC).

Struttura e modello

Struttura interna di un motore elettrico alimentato in corrente continua (DC) (qui lo statore è costituito da magneti permanenti)

Modello di un motore elettrico alimentato in corrente continua (DC) (qui lo statore è costituito da un circuito di eccitazione)

Statore

Lo statore genera il campo magnetico ${\vec {B}}\left(t\right)$ mediante:

• magneti permanenti: sono ingombranti e pesanti;

e/o

• circuito di eccitazione (solenoide): è necessario alimentarlo con una corrente continua detta corrente di eccitazione $i_{e}\left(t\right)$:

  $v_{e}(t)=R_{e}i_{e}(t)+L_{e}{\frac {di_{e}(t)}{dt}}$

Rotore

Il rotore è la parte rotante del motore, ed è costituita da una serie di spire conduttrici di superfici $A$, isolate tra loro, che, essendo immerse nel campo magnetico ${\vec {B}}\left(t\right)$ generato dallo statore, per la legge di Faraday-Henry-Lenz dell'induzione elettromagnetica:

$e\left(t\right)=-{\frac {d\phi \left(t\right)}{dt}}$

sono percorse da una corrente indotta $i_{a}\left(t\right)$, la quale concatenandosi sottopone la spira alla coppia di Lorentz $T\left(t\right)$:

$T(t)=i_{a}(t)AB\sin {\left(\theta (t)\right)}$

Il modello elettrico del rotore è descritto da:

$v_{a}(t)=R_{a}i_{a}(t)+L_{a}{\frac {di_{a}(t)}{dt}}+e(t)$

dove la forza elettromotrice indotta $e(t)$ è direttamente proporzionale a $\phi (t)\omega (t)$ tramite una costante di proporzionalità $K$ chiamata costante caratteristica del motore:

$e(t)=K\phi (t)\omega (t)$

Collettore a spazzole

La coppia di Lorentz è massima quando il versore normale della spira è perpendicolare al vettore di campo magnetico ${\vec {B}}$ ($\theta =0^{\circ }$), ed è nulla quando il versore normale della spira è parallelo ad esso ($\theta =90^{\circ }$) → ogni spira viene alimentata con la corrente di armatura $i_{a}(t)$ da un interruttore rotante chiamato collettore a spazzole, o anello di Pacinotti, solo quando nella rotazione entra a contatto con le spazzole, cioè nella posizione di massima coppia di Lorentz. Le spazzole sono soggette ad usura perché sono realizzate mediante contatti in carboncino.

Albero motore

L'albero motore, collegato meccanicamente alla carcassa tramite dei cuscinetti a sfera, trasferisce l'energia meccanica a un carico che oppone una coppia resistente $T_{r}(t)$:

$J{\ddot {\theta }}(t)=T_{m}(t)-T_{r}(t)-\beta \omega (t)$

dove:

• $T_{m}$ è la coppia motrice del motore:

  $T_{m}(t)=K\phi (t)i_{a}(t)$

• $\beta$ è il coefficiente di attrito equivalente che tiene conto dei fenomeni d'attrito (cuscinetti).

Modalità di funzionamento

Comando di armatura

Nel motore DC con comando di armatura, il flusso magnetico dello statore è tenuto costante:

$\phi (t)={\bar {\phi }},\quad \forall t$

utilizzando magneti permanenti e/o alimentando il circuito di eccitazione con una corrente costante ${\bar {i}}_{e}$ → l'equazione del circuito di eccitazione è di tipo statico:

$v_{e}(t)=R_{e}{\bar {i}}_{e}+L_{e}{\cancel {\frac {d{\bar {i}}_{e}}{dt}}}=R_{e}{\bar {i}}_{e}={\bar {v}}_{e},\quad \forall t$

Equazioni dinamiche

${\begin{cases}v_{a}(t)=R_{a}i_{a}(t)+L_{a}{\frac {di_{a}(t)}{dt}}+K{\bar {\phi }}\omega (t)\\J{\ddot {\theta }}(t)=K{\bar {\phi }}i_{a}(t)-T_{r}(t)-\beta \omega (t)\end{cases}}$

Variabili di stato

${\begin{cases}x_{1}(t)=i_{a}(t)\\x_{2}(t)=\theta (t)\\x_{3}(t)=\omega (t)\end{cases}}$

Variabili di ingresso

${\begin{cases}u_{1}(t)=v_{a}(t)\\u_{2}(t)=T_{r}(t)\end{cases}}$

Matrici dell'equazione di stato

$A={\begin{bmatrix}-{\frac {R_{a}}{L_{a}}}&0&-{\frac {k{\bar {\phi }}}{L_{a}}}\\0&0&1\\{\frac {k{\bar {\phi }}}{J}}&0&-{\frac {\beta }{J}}\end{bmatrix}}$

$B={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{L_{a}}}&0\\0&0\\0&-{\frac {1}{J}}\end{bmatrix}}$

Il termine alla prima riga e terza colonna della matrice $A$ la differenzia dalla matrice $A$ del motore a comando di eccitazione, e rappresenta la retroazione interna del sistema.

Comando di eccitazione

Nel motore DC con comando di eccitazione, la corrente di armatura è tenuta costante:

$i_{a}(t)={\bar {i}}_{a},\quad \forall t$

utilizzando un generatore ideale di corrente ${\bar {i}}_{a}$ → l'equazione del circuito di armatura è di tipo statico:

$v_{a}(t)=R_{a}{\bar {i}}_{a}+L_{a}{\cancel {\frac {d{\bar {i}}_{a}}{dt}}}+K\phi (t)\omega (t),\quad \forall t$

Il flusso magnetico dello statore dipende in maniera non lineare dalla corrente di eccitazione $i_{e}(t)$:

La caratteristica non lineare del flusso si può approssimare con la legge lineare:

$\phi (t)\approx K_{e}i_{e}(t)$

Equazioni dinamiche

${\begin{cases}v_{e}(t)=R_{e}i_{e}(t)+L_{e}{\frac {di_{e}(t)}{dt}}\\J{\ddot {\theta }}(t)=K\underbrace {\phi (t)} _{\approx K_{e}i_{e}(t)}{\bar {i}}_{a}-T_{r}(t)-\beta \omega (t)\end{cases}}$

Variabili di stato

${\begin{cases}x_{1}(t)=i_{e}(t)\\x_{2}(t)=\theta (t)\\x_{3}(t)=\omega (t)\end{cases}}$

Variabili di ingresso

${\begin{cases}u_{1}(t)=v_{e}(t)\\u_{2}(t)=T_{r}(t)\end{cases}}$

Matrici dell'equazione di stato

$A={\begin{bmatrix}-{\frac {R_{a}}{L_{a}}}&0&0\\0&0&1\\{\frac {k{\bar {\phi }}}{J}}&0&-{\frac {\beta }{J}}\end{bmatrix}}$

$B={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{L_{a}}}&0\\0&0\\0&-{\frac {1}{J}}\end{bmatrix}}$