Fondamenti di automatica2/Classificazione di sistemi dinamici

Nozione di sistema

Rappresentazione grafica di un sistema con ingresso $u\left(\bullet \right)$ e uscita $y\left(\bullet \right)$

Per sistema si intende un ente (fisico o astratto) dato dall'interconnessione di più parti elementari, per cui vale il principio di azione e reazione: l'uscita $y$ è la variabile d'interesse del sistema ed è l'effetto (reazione) dell'ingresso $u$, cioè la causa (azione) che mette in funzione il sistema stesso.

Il comportamento di un sistema è descrivibile tramite un modello matematico, cioè un insieme $S$ di relazioni matematiche che legano tra loro l'ingresso $u$ e l'uscita $y$.

Problematiche d'interesse nello studio di sistemi

• previsione: noti $S$, $u\left(\bullet \right)$ → trovare $y\left(\bullet \right)$;
• controllo: noti $S$, $y\left(\bullet \right)$ → trovare $u\left(\bullet \right)$;
• identificazione: noti $y\left(\bullet \right)$, $u\left(\bullet \right)$ → trovare $S$.

Distinzione fra sistemi statici e sistemi dinamici

Sistemi statici

Per sistema statico si intende un sistema in cui il legame ingresso-uscita è istantaneo, cioè il valore dell'uscita $y$ all'istante $t$ dipende solo dal valore dell'ingresso $u$ allo stesso istante $t$:

$y\left(t\right)=g\left(u\left(t\right)\right)\quad \forall t$

Esempio: resistore ideale

$u\left(t\right)=i_{R}\left(t\right)\Rightarrow y\left(t\right)=v_{R}\left(t\right)=Ri_{R}\left(t\right)\quad \forall t$

Sistemi dinamici

Per sistema dinamico si intende un sistema in cui il legame ingresso-uscita è di tipo dinamico, cioè il valore dell'uscita $y$ all'istante $t$ dipende da tutti i valori dell'ingresso $u$ fino all'istante $t$:

$y\left(t\right)=g\left(u\left(\left[-\infty ,t\right]\right)\right)\quad \forall t$

Esempio: condensatore ideale

$u\left(t\right)=i_{C}\left(t\right)=C{\dot {v}}_{C}\left(t\right)\Rightarrow y\left(t\right)=v_{C}\left(t\right)={\frac {1}{C}}\int _{-\infty }^{t}i_{C}\left(\sigma \right)d\sigma ={\frac {1}{C}}\int _{-\infty }^{t}u\left(\sigma \right)d\sigma \quad \forall t$

Rappresentazione grafica di un sistema dinamico con stato $x\left(\bullet \right)$

Per riassumere tutta la storia passata del sistema fino all'istante $\tau$, si può introdurre lo stato $x\left(\tau \right)$ che racchiude in sé tutta la memoria del passato:

$y\left(t\right)=g\left(x\left(\tau \right),u\left(\left[\tau ,t\right]\right)\right)\quad \forall t\geq \tau$

Esempio: condensatore ideale avente $v_{C}\left(-\infty \right)=0$

${\begin{cases}u\left(t\right)=i_{C}\left(t\right)=C{\frac {dv_{C}\left(t\right)}{dt}}\\x\left(\tau \right)={\frac {1}{C}}\int _{-\infty }^{\tau }i_{C}\left(\sigma \right)d\sigma =v_{C}\left(\tau \right)\end{cases}}\Rightarrow y\left(t\right)=v_{C}\left(t\right)={\frac {1}{C}}\int _{-\infty }^{t}i_{C}\left(\sigma \right)d\sigma =\underbrace {{\frac {1}{C}}\int _{-\infty }^{\tau }i_{C}\left(\sigma \right)d\sigma } _{x\left(\tau \right)}+{\frac {1}{C}}\int _{\tau }^{t}i_{C}\left(\sigma \right)d\sigma =x\left(\tau \right)+{\frac {1}{C}}\int _{\tau }^{t}u\left(\sigma \right)d\sigma$

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Un sistema dinamico a dimensione finita può essere descritto da un sistema formato da:

• equazione di stato: descrive l'evoluzione temporale dello stato $x$;
• equazione di uscita: descrive l'evoluzione temporale dell'uscita $y$.

Definizione di sistema dinamico

Definizione assiomatica

Il sistema dinamico $S$:

$S\left(T,U,\Omega ,X,Y,\Gamma ,\varphi ,\eta \right)$

è un ente definito dai seguenti insiemi:

• $T$: insieme ordinato dei tempi (continuo o discreto);
• $U$: insieme dei valori assunti dall'ingresso $u$;
• $\Omega$: insieme dei tipi di funzioni d'ingresso $\left\{u\left(\bullet \right):T\longrightarrow U\right\}$;
• $X$: insieme dei valori assunti dallo stato $x$;
• $Y$: insieme dei valori assunti dall'uscita $y$;
• $\Gamma$: insieme dei tipi di funzioni d'uscita $\left\{y\left(\bullet \right):T\longrightarrow Y\right\}$;

per cui sono definite le funzioni $\varphi$ e $\eta$ che ne determinano la rappresentazione di stato (o rappresentazione ingresso-stato-uscita).

Funzione di transizione dello stato $\varphi$

La funzione di transizione dello stato $\varphi$ descrive il movimento dello stato, cioè determina lo stato finale $x\left(t\right)$ dato lo stato iniziale $x\left(\tau \right)$ (in un altro istante di tempo):

$x\left(t\right)=\varphi \left(t,\tau ,x\left(\tau \right),u\left(\bullet \right)\right)$

Funzione di uscita $\eta$

La funzione di uscita $\eta$ è una funzione istantanea dello stato $x$ e dell'eventuale ingresso $u$ che descrive il movimento dell'uscita, o risposta, cioè determina l'uscita $y\left(t\right)$ partendo dallo stato corrente $x\left(t\right)$ (nello stesso istante di tempo):

$y\left(t\right)=\eta \left(t,x\left(t\right),u\left(t\right)\right)$

Se l'uscita $y$ non dipende istantaneamente dall'ingresso $u$, il sistema è proprio o fisicamente realizzabile:

$y\left(t\right)=\eta \left(t,x\left(t\right)\right)$

Criteri di classificazione dei sistemi dinamici

Insiemi $T$, $U$, $Y$, $X$

Insieme ordinato dei tempi $T$

Un sistema dinamico può essere a tempo continuo (es. natura) o a tempo discreto (es. sistema digitale):

• $T\subseteq \mathbb {R}$ ⇒ sistema dinamico a tempo continuo (si usa la variabile $t$);
• $T\subseteq \mathbb {Z}$ ⇒ sistema dinamico a tempo discreto (si usa la variabile $k$).

Vi sono due tipi di equazione di stato ${\dot {x}}$:

• sistema a tempo continuo ⇒ l'equazione di stato è un sistema di $n$ equazioni differenziali:

  ${\dot {x}}\left(t\right)=f\left(t,x\left(t\right),u\left(t\right)\right)$

• sistema a tempo discreto ⇒ l'equazione di stato è un sistema di $n$ equazioni alle differenze finite:

  $x\left(k+1\right)=f\left(k,x\left(k\right),u\left(k\right)\right)$

Insiemi dei valori di ingresso $U$ e di uscita $Y$

Esempi

"quantizzato"	$y\left(k\right)=x\left(k\right)+u\left(k\right)$
SISO	$y\left(t\right)=x\left(t\right)+u\left(t\right)$
MIMO	$y\left(t\right)=x_{1}\left(t\right)+x_{2}\left(t\right)+u_{1}\left(t\right)+u_{2}\left(t\right)$

In un sistema dinamico gli ingressi $u$ e le uscite $y$ possono essere discreti o continui:

• $U\subseteq \mathbb {Z}$, $Y\subseteq \mathbb {Z}$ ⇒ sistema dinamico a ingressi e uscite quantizzate;
• $U\subseteq \mathbb {R} ^{p}$, $Y\subseteq \mathbb {R} ^{q}$: si differenziano in base al numero di ingresso e al numero di uscite:
  • $p=q=1$ ⇒ sistema monovariabile o SISO (un solo ingresso $u$ e una sola uscita $y$);
  • $p>1$ e/o $q>1$ ⇒ sistema multivariabile o MIMO.

Insieme dei valori dello stato $X$

• $X\subseteq \mathbb {Z}$ ⇒ sistema dinamico a stati finiti (macchina a stati finiti);
• $X\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ con $n$ finito ⇒ sistema a parametri concentrati (nel caso a tempo continuo: equazioni differenziali alle derivate ordinarie);
• $X\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ con $n$ infinito ⇒ sistema a parametri distribuiti (nel caso a tempo continuo: equazioni differenziali alle derivate parziali).

Funzioni $\varphi$ e $\eta$

Proprietà di linearità

Esempi

lineare	$y\left(t\right)=x\left(t\right)$
non lineare	$y\left(t\right)=x^{2}\left(t\right)$

Il sistema dinamico è lineare se:

• $U$, $\Omega$, $X$, $Y$, $\Gamma$ sono spazi vettoriali;
• la funzione di transizione dello stato $\varphi$ è lineare in $x$ e in $u$, cioè è scomponibile nella combinazione lineare dell'evoluzione libera $x_{\ell }\left(t\right)$ e dell'evoluzione forzata $x_{f}\left(t\right)$ del sistema:

  $x\left(t\right)=\varphi \left(t,\tau ,x\left(\tau \right),u\left(\bullet \right)\right)=\varphi _{\ell }\left(t,\tau \right)x\left(\tau \right)+\varphi _{f}\left(t,\tau \right)u\left(\bullet \right)=x_{\ell }\left(t\right)+x_{f}\left(t\right)$

• la funzione di uscita $\eta$ è lineare in $x$ e in $u$, cioè è scomponibile nella combinazione lineare di $x\left(t\right)$ e $u\left(t\right)$ con coefficienti matriciali $C\left(t\right)$ e $D\left(t\right)$:

  $y\left(t\right)=\eta \left(t,x\left(t\right),u\left(t\right)\right)=C\left(t\right)x\left(t\right)+D\left(t\right)u\left(t\right)$

Proprietà di stazionarietà (o invarianza nel tempo)

Esempi

tempo-variante	$y\left(t\right)=tx\left(t\right)$
tempo-invariante	$y\left(t\right)=x\left(t\right)$

Il sistema dinamico è stazionario (o tempo-invariante) se:

• la funzione di transizione dello stato $\varphi$ non dipende esplicitamente dal tempo, cioè a parità di intervallo di tempo $\Delta \tau$ è costante indipendentemente dall'istante iniziale scelto:

  $\varphi \left(t,\tau ,x^{*},u\left(\bullet \right)\right)=\varphi \left(t+\Delta \tau ,\tau +\Delta \tau ,x^{*},u^{\Delta \tau }\left(\bullet \right)\right)$

• la funzione di uscita $\eta$ non dipende esplicitamente dal tempo.

Casi particolari di sistemi dinamici a dimensione finita

	Equazione di stato	Equazione di uscita
tempo continuo	$n$ equazioni differenziali ordinarie del I ordine: ${\dot {x}}\left(t\right)=f\left(t,x\left(t\right),u\left(t\right)\right)$	$y\left(t\right)=g\left(t,x\left(t\right),u\left(t\right)\right)$
+ lineare	$n$ equazioni differenziali lineari in $x\left(t\right)$ e $u\left(t\right)$: ${\dot {x}}\left(t\right)=A\left(t\right)x\left(t\right)+B\left(t\right)u\left(t\right)$ $A\left(t\right)\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ matrice di stato $B\left(t\right)\in \mathbb {R} ^{n\times p}$ matrice degli ingressi	$y\left(t\right)=C\left(t\right)x\left(t\right)+D\left(t\right)u\left(t\right)$ $C\left(t\right)\in \mathbb {R} ^{q\times n}$ matrice delle uscite $D\left(t\right)\in \mathbb {R} ^{q\times p}$ matrice del legame diretto ingresso-uscita
+ tempo-invariante (LTI)	$n$ equazioni differenziali lineari in $x\left(t\right)$ e $u\left(t\right)$ a coefficienti costanti: ${\dot {x}}\left(t\right)=Ax\left(t\right)+Bu\left(t\right)$	$q$ equazioni lineari in $x\left(t\right)$ e $u\left(t\right)$ a coefficienti costanti: $y\left(t\right)=Cx\left(t\right)+Du\left(t\right)$
tempo discreto	$n$ equazioni alle differenze finite: $x\left(k+1\right)=f\left(k,x\left(k\right),u\left(k\right)\right)$	$y\left(k\right)=g\left(k,x\left(k\right),u\left(k\right)\right)$
+ lineare	$n$ equazioni alle differenze finite lineari in $x\left(k\right)$ e $u\left(k\right)$: $x\left(k+1\right)=A\left(k\right)x\left(k\right)+B\left(k\right)u\left(k\right)$	$y\left(k\right)=C\left(k\right)x\left(k\right)+D\left(k\right)u\left(k\right)$
+ tempo-invariante (LTI)	$n$ equazioni alle differenze finite lineari in $x\left(k\right)$ e $u\left(k\right)$ a coefficienti costanti: $x\left(k+1\right)=Ax\left(k\right)+Bu\left(k\right)$	$q$ equazioni lineari in $x\left(k\right)$ e $u\left(k\right)$ a coefficienti costanti: $y\left(k\right)=Cx\left(k\right)+Du\left(k\right)$