Analisi matematica I/I numeri reali

Definizione

L'insieme R è l'insieme dei numeri in cui sono definite le operazioni già definite in Q (cioè Somma, Prodotto e la relazione di Ordinamento), sono verificate le proprietà su tali operazioni e relazioni, e in cui vale un nuovo assioma, chiamato Assioma di Continuità.

L'insieme $\mathbb {Q}$ e l'insieme $\mathbb {R}$

I numeri razionali si scrivono nella forma $m \over n$, dove $n\neq 0$ e $m,n\in \mathbb {Z}$. L'insieme dei numeri razionali $\mathbb {Q}$ risulta essere limitato; se consideriamo un quadrato di lato 1, la sua diagonale (che per il teorema di Pitagora varrebbe radice di 2) non è misurabile in $\mathbb {Q}$  : ${\sqrt {2}}$ non può mai essere scritto sotto forma di frazione razionale.

Per rappresentare questi numeri, detti irrazionali, l'insieme $\mathbb {Q}$ è stato esteso, ed è nato l'insieme dei numeri reali $\mathbb {R}$ (unione dei numeri razionali e irrazionali). Le 11 proprietà che erano definite per l'insieme $\mathbb {Q}$ (9 per le Operazioni Somma e Prodotto e 2 per la Relazione di Ordinamento) sono anche qui verificate.

Proprietà di Q che valgono in R

Proprietà Somma e Prodotto:

S1 Commutativa : ∀x,y ∈ R, x+y = y+x

S2 Associativa : ∀x,y,z ∈ R, (x+y)+z = x+(y+z)

S3 Elemento Neutro : ∀x ∈ R, x+0 = x

S4 Elemento Opposto : ∀x ∈ R, ∃y ∈ R tale che x+y = 0 (x = -y)

P1 Commutativa : ∀x,y ∈ R, xy = yx

P2 Associativa : ∀x,y,z ∈ R, (xy)z = x(yx)

P3 Elemento Neutro : ∀x ∈ R, x×1 = x

P4 Reciproco (Inverso)  : ∀x ∈ R, x ≠ 0, ∃y ∈ R tale che xy = 1 (y = 1/x)

SP Distributiva : ∀x,y,z ∈ R, (x+y)z = xz+yz

Relazioni di Ordinamento:

SO Rispetto alla Somma : ∀x,y ∈ R, x ≤ y, ∃z ∈ R tale che x+z ≤ y+z

PO Rispetto al Prodotto : ∀x,y ∈ R, x ≤ y, ∃z ∈ R, z ≥ 0 tale che xz ≤ yz

Assioma di Continuità

Nell'insieme R è verificato un importante assioma, chiamato Assioma di Continuità, che è alla base di tutti i teoremi dell'Analisi Matematica. Quest'assioma afferma che: Se prediamo un insieme limitato superiormente contenuto in R, questo insieme ammette Estremo Superiore, e viceversa, se prendiamo un insieme limitato inferiormente contenuto in R, allora l'insieme ammette Estremo Inferiore.