Analisi matematica I/Insiemi

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Definizione modifica

Un insieme è un sinonimo di classe, aggregato, famiglia, totalità, ecc. ed è costituito da elementi, che si dicono appartenere ad esso. Per indicare gli insiemi si utilizzano le lettere maiuscole dell'alfabeto (es. A,B,C...ecc.), mentre per denominare gli elementi che ne fanno parte o meno, si usano le lettere dell'alfabeto minuscole (a,b,c...ecc.).

  • Diremo che un insieme A è finito se esiste un numero n appartenente ai numeri naturali tale che ad A appartengono esattamente n elementi; per contro diremo che ad A è infinito se, qualunque sia il numero naturale n, all'insieme appartengono più di n elementi.
Esempi
Un esempio di insieme finito è:  . Il numero di elementi che compongono insieme A è 5, pertanto possiamo asserire che esso è finito.

Se invece prendiamo in esame l'insieme dei numeri primi, che sono infiniti, in questo caso ci troviamo di fronte ad un insieme infinito. In notazione matematica un insieme A dei numeri (x) tali che x sia un numero primo si scrive:   è un numero primo  oppure   è un numero primo .

Nomenclatura modifica

  • Se A è un insieme, ed x appartiene a questo insieme scriveremo:
 

che si legge: x appartiene ad A oppure ad A appartiene x
  • Se, invece, x non appartiene all'insieme A scriveremo:
 
che si legge: x non appartiene ad A oppure ad A non appartiene x
  • Dati gli insiemi A e B, diciamo che A è contenuto o incluso in B, o che B contiene o include A, quando ogni elemento di A è anche elemento di B, e useremo la notazione:
  oppure  
in tal caso diremo che A è un sottoinsieme o una parte di B.

Osservazione:Fra i sottoinsiemi di B c'è ovviamente anche l'insieme B stesso.

  • Per dire che A è un sottonsieme di B distinto da B, diciamo che A è un sottoinsieme proprio o parte propria; in questo caso esiste almeno un elemento di B che non appartiene ad A. Lo scriveremo così allora:
  oppure  
e si dice che A è strettamente contenuto in B.
Ovviamente, se   e  , gli insiemi A e B saranno coincidente, e dunque:
 
  • Per denotare gli elementi a di un insieme A che hanno una certa proprietà  , scriveremo:
 
la proprietà   è solitamente espressa da una proposizione, da una diseguaglianza, ecc., in armonia con la natura degli elementi che compongono l'insieme A.
Esempio
Se A è l'insieme costituito da tutte le rette del piano, e se r è una retta del piano, il sottoinsieme B di A formato da rette parallele a r si scrive:
 a parallela ad r  
che si legge: l'insieme degli elementi appartenenti ad A tali che a è parallela ad r.
Talvolta possiamo rappresentare un insieme indicandone tutti gli elementi. Ad esempio l'insieme costituito da a, b, c, ... si scrive:
 
In particolare, il simbolo   mostra l'insieme costituito solo dall'elemento a.

Insieme vuoto modifica

Stando al significato di "insieme", non dovrebbe esistere un insieme in cui non sia presente nessun elemento. Quindi, ci è spesso più comodo indicare l'insieme vuoto, cioè quell'insieme che non contiene nessun elemento. È un simbolo puramente convenzionale e si indica con il simbolo  

Ad esempio, dati 3 punti di una circonferenza distinti a, b, c, per esprimere che non esiste nessuna retta del piano che passi per a, per b e per c contemporaneamente, possiamo dire che l'insieme delle rette passanti per a, b, c è vuoto.

Ancora un altro esempio. Abbiamo l'insieme   e l'insieme   e vogliamo trovare la loro differenza, avremo:   ma si può scrivere anche   inoltre A e   sono fra loro complementari in B. E quindi possiamo dedurre le seguenti proprietà:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  

Leggi di De Morgan modifica

Se prendiamo due insiemi qualsiasi allora valgono le seguenti uguaglianze:

  1.  
  2.  

Operazioni con gli insiemi modifica

Intersezione tra insiemi modifica

Si chiama intersezione di due insiemi A e B, l'insieme formato dagli elementi che appartengono sia ad A che a B e si scrive:

 

Se dati due insiemi   e   risulta   i due insiemi non hanno alcun elemento in comune, perciò si chiameranno insiemi disgiunti.

Unione tra insiemi modifica

Si chiama unione di due insiemi A e B, l'insieme formato da tutti gli elementi che appartengono ad almeno uno degli insiemi A, B e si scrive:

 .

Similmente, dati n insiemi  ,  , ...  , si definiscono l'intersezione e l'unione di essi, che si scrivono rispettivamente:

  e  

oppure nella forma contratta:

  e  

che leggeremo intersezione di   per k da 1 ad n, e unione di   per k da 1 ad n. Da precisare che la   è un paramentro che viene utilizzato convenzionalmente per indicare

 .

Ovviamente, il concetto di intersezione e di unione si estende ad una moltitudine di insiemi. Ad esempio, se I è un insieme infinito, e se per ogni   vi sia un insieme  , scriveremo intersezione e unione:

  e  
  • Se  ,  , ... sono sottinsiemi non vuoti dell'insieme A, a 2 a 2 disgiunti e aventi per unione proprio l'insieme A, diremo che  ,  , ... sono una partizione di A.

Differenza tra insiemi modifica

Si chiama differenza di due insiemi A e B, o complemento di B rispetto ad A, l'insieme degli elementi appartenenti ad A ma non a B, e lo scriveremo:

 

Questa definizione non presuppone che  , in quanto:

 
Esempio
Se   e   avremo:
 
 

Differenza simmetrica modifica

L'operazione di differenza simmetrica tra due insiemi viene indicata mediante la notazione:   e da' come risultato un insieme costituito dagli elementi di   non appartenenti a   (cioè la differenza  ) e dagli elementi di   non appartenenti ad   (cioè la differenza  ). In notazione matematica scriveremo:  .

Prodotto cartesiano modifica

Dati due insiemi A e B, non vuoti, si chiama prodotto cartesiano di A per B, l'insieme che ha per elementi tutte le coppie ordinate (a, b) con   e  

L'insieme si scrive:
 
e si leggerà: prodotto cartesiano di A per B oppure A per B, oppure A cartesiano B.
L'elemento a si chiama prima coordinata (o componente), mentre b si chiama seconda coordinata (o componente).
Osservazioni
Si noti che il prodotto cartesiano di due insiemi non vuoti e distinti non gode della proprietà commutativa. Il prodotto cartesiano di un insieme per l'insieme vuoto è l'insieme vuoto. Inoltre, se  , gli insiemi   e   non coincidono.
  • Il prodotto cartesiano  , si può scrivere come  .
Esempio
se   e   facendo il prodotto cartesiano  , avremo le coppie ordinate:
 ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  .
  • Parlando in generale, chiameremo prodotto cartesiano di n insiemi non vuoti  ,  , ...  , e lo scriveremo:
 
mentre l'insieme i cui elementi sono le n-ple ordinate:
 

con  .

Gli elementi   si chiamano rispettivamente prima, seconda, ..., n-esima coordinata (o componente). Il prodotto cartesiano di n insiemi tutti uguali ad A si indica come  . A tale simbolo si dà significato anche per  , convenendo di porre  

Proprietà degli insiemi modifica

Le operazioni di inclusione ed intersezione tra insiemi godono di alcune proprietà qui sotto elencate:

  • Idempotenza:   per l'inclusione, mentre per l'intersezione  ;
  • Commutativa:   invece  ;
  • Distributiva:   e  ;
  • Associativa:   e  ;
  • Assorbimento:   e  .