Analisi complessa/Definizione e proprietà della trasformata di Fourier

Trasformata di Fourier

Definizione e proprietà

Definizione 3.1.1.

Sia $L^{1}(R)$l'insieme di tutte le funzioni a modulo integrabile su $\mathbb {R}$,

$L^{1}(\mathbb {R} )=\left\{f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} ,\int _{-\infty }^{\infty }|f(t)|dt<\infty \right\}$.

Sia $f\in L^{1}(\mathbb {R} )$ , definiamo la trasformata di Fourier di $f$ come la funzione

${\hat {f}}(\lambda )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\lambda x}dx$

definiamo poi l'antitrasformata di Fourier la funzione

${\check {g}}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }g(\lambda )e^{i\lambda x}d\lambda$

Sotto opportune ipotesi,

$\left({\hat {f}}\right){\check {}}=f$

Cioè, l'antitrasformata della trasformata di una funzione $f$ coincide con la funzione stessa

TEOREMA 3.1.2

Sotto opportune ipotesi di regolarità, per le funzioni $f,f_{1},f_{2}\in L^{1}(\mathbb {R} )$e le loro trasformate ${\hat {f}},{\hat {f_{1}}},{\hat {f_{2}}}$ valgono le seguenti proprietà algebriche:

Siano $a,b\in \mathbb {C} ,k\in \mathbb {R}$:

1. $(af_{1}+bf_{2})^{\hat {}}=a{\hat {f_{1}}}+b{\hat {f_{2}}}$
2. $({\hat {f}})^{\hat {}}(x)=f(-x)$
3. $({\overline {f}})^{\hat {}}(\lambda )={\overline {{\hat {f}}(-\lambda )}}$
4. $(f(x-u))^{\hat {}}(\lambda )=e^{-i\lambda u}{\hat {f}}(\lambda )$
5. $(e^{i\mu x}f(x))^{\hat {}}(\lambda )={\hat {f}}(\lambda -\mu )$
6. $(f(kx))^{\hat {}}(\lambda )={\frac {1}{k}}{\hat {f}}\left({\frac {\lambda }{k}}\right)$

e le proprietà analitiche:

1. ${\hat {f}}$ è limitata, $|{\hat {f}}(\lambda )|\leq \Vert f\Vert _{L^{1}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|dx$
2. ${\hat {f}}$ è uniformemente continua
3. $\lim _{|\lambda |\rightarrow \infty }{\hat {f}}(\lambda )=0$
4. Se $f^{(m)}\in L^{1}(\mathbb {R} )$ e $\lim _{|x|\rightarrow \infty }f^{(n)}(x)=0$ per $n\leq m$ , allora $(f^{(m)}(x))^{\hat {}}(\lambda )=(i\lambda )^{m}{\hat {f}}(\lambda )$
5. Se $x^{m}f(x)\in L^{1}(\mathbb {R} )$ allora

$\forall j\leq m\quad x^{j}f(x)\in L^{1}(\mathbb {R} )$, e $((ix)^{j}f(x))(\lambda )^{\hat {}}={\hat {f}}^{(j)}(\lambda )$

Trasformata di Fourier in $L^{2}$

Gli spazi $L^{p}$

Gli spazi $L^{p}(\mathbb {R} )$, con $p\geq 1$ reale oppure infinito, sono le funzioni $f:\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {C}$ che sono p-sommabili cioè:

$\int _{-\infty }^{\infty }|f(t)|^{p}dt<\infty$

$L^{2}$ non è un sottoinsieme di $L^{1}$ , e quindi esistono funzioni in $L^{2}$ per le quali

${\hat {f}}(\lambda )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\lambda x}dx$

non è ben definita.

Si può però definirla senza problemi in $L^{2}\cap L^{1}$ ; considerato che $L^{2}\cap L^{1}$ è un sottoinsieme denso di $L^{2}$, e che $\forall f\in L^{2}$ esiste $\left\{f_{n}\right\}\subseteq L^{2}\cap L^{1}$ tale che $f_{n}\rightarrow f$ in norma $2$, possiamo definire

${\hat {f}}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\hat {f_{n}}}$

Dato che la norma di $L^{2}$ non distingue tra funzioni che differiscono su un insieme di misura $0$ (in effetti gli elementi di $L^{2}$ sono classi di equivalenza di funzioni che sono uguali quasi ovunque), il problema di questa definizione è che la trasformata è ben definita come elemento dello spazio di Hilbert $L^{2}$ , ma non puntualmente.

Si può dimostrare che vale anche l'uguaglianza di Parseval:

$\Vert f\Vert _{2}=\Vert {\hat {f}}\Vert _{2}$