Analisi complessa/Calcolo dei residui

Definizione 1.6.1.

Si rimanda alla definizione di singolarità isolata; per una singolarità isolata $z_{0}$ di una funzione $f$, esiste sempre un intorno in cui la funzione $f$ è analitica, ed è quindi esprimibile in serie di Laurent.

Teorema

Dalla definizione dei coefficienti della serie di Laurent segue che, per un contorno $C$ contenuto nell'intorno della singolarità:

$\int _{C}f(z)dz=2\pi ib_{1}\!$,

dove $b_{1}$ è il coefficiente del termine $1/(z-z_{0})$ nella serie di Laurent.

Si è soliti indicare il termine $b_{1}$ della serie di Laurent di una funzione $f$, in un intorno di una sua singolarità isolata $z_{0}$, come residuo di $f$ in $z_{0}$, $b_{1}=Res_{z=z_{0}}f(z)$.

Teorema 1.6.3 (dei residui)

Sia $C$ un contorno semplice chiuso orientato positivamente. Se una funzione $f$ è analitica all'interno di $C$ tranne che per un numero finito di singolarità isolate $z_{k}$, allora

$\int _{C}f(z)dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}Res_{z=z_{k}}f(z)$

Teorema 1.6.4

Se una funzione è olomorfa in $C$, eccetto che per un numero finito di punti singolari interni ad un contorno semplice chiuso $C$ orientato positivamente, allora

$\int _{C}f(z)dz=2\pi iRes_{z=0}\left[{\frac {1}{z^{2}}}f\left({\frac {1}{z}}\right)\right]$

Definizione 1.6.5

È possibile classificare i punti singolari isolati di una funzione $f$ studiando la forma del suo sviluppo di Laurent in un intorno di ciascun punto.

Si possono in particolare verificare tre casi:

1. Tutti i coefficienti $b_{n}$ delle potenze negative di $z-z_{0}$ sono identicamente uguali a zero.In questo caso $z_{0}$ si dice singolarità eliminabile, perché la funzione diventa analitica in $z_{0}$; se si assegna $f(z_{0})=a_{0}$ (dove $a_{0}$ è il termine di ordine zero nello sviluppo in serie).
2. $b_{n}=0$ per $n>m$ e $b_{m}\neq 0$. In questo caso $z_{0}$ si dice essere un polo di ordine $m$; un polo di ordine $1$ si dice polo semplice.
3. Un numero infinito di $b_{n}$ sono diversi da zero.$z_{0}$ si dice singolarità essenziale.

Teorema 1.6.6 (di Picard)

In ogni intorno di una singolarità essenziale, una funzione assume un numero infinito di volte ogni possibile valore, con la possibile eccezione di un unico valore.

Calcolo dei residui

I teoremi sviluppati fino a qui permettono di esprimere in modo semplice integrali lungo contorni che contengano punti singolari.

Resta però il problema di calcolare il coefficiente $b_{1}$ della serie di Laurent; un primo approccio prevede la possibilità di ricavare lo sviluppo in serie della funzione in esame a partire da sviluppi noti, ricavando cos'è in particolare il residuo; è anche possibile calcolare esplicitamente il coefficiente con la integrale (ma questo chiaramente svuota di significato il ricorso al teorema dei residui per calcolare un integrale).

Sono infine disponibili alcune formule che permettono di calcolare i residui in modo semplice in certi casi particolari.

Teorema

Una singolarità isolata $z_{0}$ di una funzione $f$ è un polo di ordine $m$ se e solo se $f$ può essere scritta nella forma

$f(z)={\frac {\phi (z)}{(z-z_{0})^{m}}}$,

dove $\phi (z)$ è analitica in $z_{0}$.Inoltre

$Res_{z=z_{0}}f(z)={\frac {\phi ^{(m-1)}(z_{0})}{(m-1)!}}.$

Definizione

Si dice che una funzione $f$ 'analitica in un punto $z_{0}$ ha uno zero di ordine $m$ in $z_{0}$ se $f^{(n)}(z_{0})=0\!$ per $n<m$ e $f^{(m)}(z_{0})\neq 0$.
Una funzione $f$ analitica in $z_{0}$ ha uno zero di ordine $m$ se e solo se esiste una funzione $g(z)$, analitica e non nulla in $z_{0}$, tale che $f(z)=(z-z_{0})^{m}g(z)\!$ in un intorno di $z_{0}$.

Teorema

Se due funzioni $p$ e $q$ sono analitiche in $z_{0}$, $p(z_{0})\neq 0$ e $q$ ha in $z_{0}$ uno zero di ordine $m$, allora ${\frac {p(z)}{q(z)}}$ ha un polo di ordine $m$ in $z_{0}$.

Corollario

Se $p$ e $q$ sono analitiche in $z_{0}$, $p(z_{0})\neq 0$. $q(z_{0})=0\!$ e $q'(z_{0})\neq 0$ allora $z_{0}$ è un polo semplice e

$Res_{z=z_{0}}{\frac {p(z)}{q(z)}}={\frac {p(z_{0})}{q'(z_{0})}}$

Definizione.

Si dice che una funzione $f$ è 'analiticà in un punto $z_{0}$ ha uno zero di ordine $m$ in $z_{0}$ se $f^{\left(n\right)}\left(z_{0}\right)=0$ per $n<m$ e $f^{\left(m\right)}\left(z_{0}\right)\neq 0$.
Una funzione $f$ analitica in $z_{0}$ ha uno zero di ordine $m$ se e solo se esiste una funzione $g\left(z\right)$, analitica e non nulla in $z_{0}$, tale che $f\left(z\right)=\left(z-z_{0}\right)^{m}g\left(z\right)$ in un intorno di $z_{0}$.

Se due funzioni $p$ e $q$ sono analitiche in $z_{0}$, $p\left(z_{0}\right)\neq 0$ e $q$ha in $z_{0}$ uno zero di ordine $m$, allora $p\left(z\right)/q\left(z\right)$ ha un polo di ordine $m$ in $z_{0}$.

Corollario

Se $p$ e $q$ sono analitiche in $z_{0}$, $p\left(z_{0}\right)\neq 0$. $q\left(z_{0}\right)=0\!$ e $q'\left(z_{0}\right)\neq 0$ allora $z_{0}$ è un polo semplice e

$Res_{z=z_{0}}{\frac {p(z)}{q(z)}}={\frac {p(z_{0})}{q'(z_{0})}}$

Se $f$ è analitica in un dominio $D$, ed $E$ è l'insieme degli zeri di $f$, se $E$ ha un punto di accumulazione in $D$, $f(z)=0$ in tutto $D$.

Corollario

Una funzione analitica è univocamente determinata dai suoi valori in un dominio o lungo un segmento.

Teorema

Se $f$ è analitica in un dominio $D$, ed $E$ è l'insieme degli zeri di $f$, se $E$ ha un punto di accumulazione in $D$, $f(z)=0$ in tutto $D$.

Corollario

Una funzione analitica è univocamente determinata dai suoi valori in un dominio o lungo un segmento.