Utente:Zambu/topologiaretta

Segmenti e intervalli

Diremo che una retta è orientata se dati due punti A e B, si possa sempre stabilire se A precede B oppure A segue B oppure A coincide con B.

L'insieme dei numeri Reali R può essere messo in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta.

• Due punti su una retta orientata individuano un segmento orientato formato da tutti i punti che seguono il primo e precedono il secondo.
• Due numeri reali individuano un intervallo formato da tutti i numeri che seguono il primo e precedono il secondo.

Intervalli nei numeri reali e segmenti nella retta si possono far corrispondere.

A seconda se gli estremi appartengono al segmento, o all'intervallo, possiamo distinguere 4 casi:

Intervallo	Significato
aperto	gli estremi $a$ e $b$ non appartengono all'intervallo
aperto a sinistra e chiuso a destra	l'estremo $a$ non appartiene mentre $b$ appartiene all'intervallo
chiuso a sinistra e aperto a destra	l'estremo $a$ appartiene mentre $b$ non appartiene all'intervallo
chiuso	gli estremi $a$ e $b$ appartengono all'intervallo

Per rappresentare gli intervalli si possono usare diverse notazioni:

Intervallo	Rappr. grafica	Rappr. con i predicati	Rappr. con parentesi miste	Rappr. con parentesi quadre
aperto		$a<x<b\,$	$(a;b)\,$	$]a;b[\,$
aperto a sinistra e chiuso a destra		$a<x\leq b$	$(a;b]\,$	$]a;b]\,$
chiuso a sinistra e aperto a destra		$a\leq x<b$	$[a;b)\,$	$[a;b[\,$
chiuso		$a\leq x\leq b$	$[a;b]\,$	$[a;b]\,$

I termini punto e numero sono equivalenti, come lo sono anche segmento e intervallo. D'ora in poi questi termini equivalenti verranno utilizzati indifferentemente.

Insiemi

In generale in tutti gli insiemi in cui è definita una relazione d'ordine è possibile ...

In generale in tutti i sottoinsiemi dei numeri reali è possibile

Possiamo individuare alcune caratteristiche dei sottoinsiemi dei numeri reali. Partiamo da alcuni esempi:

N

1/n

{3, 4, 5, 6}

Intorni

Definizione

Chiamiamo Intorno di un punto (di un numero) ogni intervallo aperto che contenga il punto (il numero).