Utente:Serendipità/Sandbox

Trasmissione del calore per convezione

Generalità

È il meccanismo di trasmissione del calore proprio dei fluidi, caratterizzato dal fatto che si realizza con trasporto di materia.

Per ragioni storiche è oramai una consuetudine esprimere il flusso termico che si trasmette tra un fluido a temperatura $t_{f}\,$ e una porzione $dA\,$ della sua superficie limite alla temperatura $t_{P}\,$ con la:

$dq=hdA(t_{P}-t_{f})\,$ dove $h\,$ è il coefficiente di convezione

Il coefficiente di convezione $h\,$ è una complessa funzione di molte variabili del fenomeno e la sua determinazione presenta molte difficoltà.

Convezione forzata

Nella convezione forzata il moto del fluido è provocato meccanicamente. Il campo termico influenza solo indirettamente il campo di velocità, attraverso la variabilità delle proprietà fisiche del fluido con la temperatura (es: densità, viscosità...)

Deflusso esterno

Caso di superfici piane (o a debole curvatura)

Lo schema della trasmissione di calore tra un fluido in moto a flusso parallelo e una superficie piana è:

Posto $u_{\infty }\,$, $t_{\infty }\,$ e $t_{P}\,$ costanti e uniformi, si trovano sperimentalmente i profili disegnati a riguardo della velocità e della temperatura del fluido. Si osserva 'esistenza di due distanze $\delta \,$ dalla parete nelle quali avviene la variazione di velocità e temperatura del fluido; dal valore assunto in corrispondenza della parete a quello assunto all'infinito. Questi spessori sono:

• lo strato limite meccanico $\delta _{m}\,$
• lo strato limite termico $\delta _{t}\,$

Queste due grandezze rappresentano la porzione di spazio, adiacente alla parete, ove il fluido risente della presenza della parete al riguardo di velocità e temperatura.

Legame tra $h\,$ e $k\,$

In corrispondenza dell'interfaccia fluido parete, il calore si trasmette per conduzione pura. Il flusso termico specifico:

$q^{\prime }={\frac {dQ}{dSd\tau }}=-k\left({\frac {\partial T}{\partial y}}\right)_{y=0}\,$

Tale relazione vale rigorosamente solo in corrispondenza della parete. Tuttavia la si può 2 forzare 2 assumendo che la condizione sia il modo di trasmissione prevalente all'interno dello strato limite termico. Quindi si può scrivere:

$q^{\prime }=h(t_{P}-t_{f})\approx k\left({\frac {t_{P}-t_{f}}{\delta _{t}}}\right)\,$

Allora vale la seguente relazione in termini di ordini di grandezza:

$h=o\left({\frac {k}{\delta _{t}}}\right)\,$

Legame tra $\delta _{m}\,$ e $\delta _{t}\,$

I due spessori di strato limite sono legati fra loro, infatti sperimentalmente il loro rapporto dipende solo dalle proprietà del fluido.

${\frac {\delta _{m}}{\delta _{t}}}={\frac {\delta _{m}}{\delta _{t}}}(k;c_{P};\mu )\,$

Dove $c_{P}\,$ è il calore specifico a pressione costante e $\mu \,$ la viscosità dinamica. Utilizzando l'analisi dimensionale si trova che questa relazione è:

${\frac {\delta _{m}}{\delta _{t}}}\approx Pr^{\frac {1}{3}}\,$

dove $Pr={\frac {c_{P}\mu }{k}}\,$ è il numero di Prandtl che esprime un rapporto fra diffusività:

$Pr={\frac {\frac {\mu }{\rho }}{\frac {k}{\rho c_{P}}}}={\frac {\nu }{\alpha }}\,$

Si ha cioè un rapporto tra diffusività della quantità di moto (viscosità) e diffusività termica. Quindi l'evoluzione dello strato limite meccanico è determinante ai fini della trasmissione del calore per convezione.

« Nello strato limite termico si verifica praticamente l'intera differenza di temperatura fra parete e fluido. Cioè l'intera resistenza alla trasmissione del calore. »

Caso di superfici con forte curvatura nella direzione del moto

In questo caso, dove i corpi sono tozzi, lo strato limite meccanico non rimane aderente alla parete ma se ne stacca. Avviene la separazione dello strato limite. La separazione dello strato limite favorisce la formazione di una zona vorticosa con moto relatico mediamente nullo rispetto al corpo nella zona a vallo di quest'ultimo. La conseguenza di tutto ciò si risente fortemente nel valore assunto localmente dal coefficiente di convezione.

Esempio: Andamento di $h\,$ nel caso di cilindro infinito investito perpendicolarmente da un flusso di fluido

La rappresentazione usata è quella dei diagrammi polari dove la funzione rappresentata è la $h=h(\phi )\,$ con il numero di Reynolds $Re\,$ preso a parametro.

• $10^{3}<Re<10^{5}\,$

Il distacco della vena avviene a $\phi =80^{\circ }\,$

1. $h\,$ decresce dal punto di ristagno a prua
2. $h\,$ è minimo alla separazione dello strato limite
3. $h\,$ aumenta nuovamente a causa della turbolenza presente nella scia

A questo corrisponde un andamento opposto per $\delta _{t}\,$, cioè si avrà una crescita, un valore massimo e una decrescita.

• Aumentando via via $Re\,$, si osserva che il punto di separazione dello strato limite si sposta verso poppa.

• $Re>10^{5}\,$

La transizione del moto da laminare a turbolento avviene per valori $\phi \approx 95^{\circ }\,$.

Questo provoca un ulteriore spostamento verso poppa del punto di separazione dello strato limite.

Deflusso interno

Senza scapito di generalità si può trattare il moto di un fluido all'interno di un condotto per esempio a sezione circolare.

File:Capitolo3-FT-04.JPG

Nel condotto si sviluppa uno strato limite meccanico.

• Se il fluido è isotermo, esisterà una distanza dall'imbocco per la quale il profilo di velocità si dice completamente sviluppato. Ciò significa che la forma del profilo di velocità non varierà più con la distanza dall'imbocco.
• Se il fluido non è isotermo, la temperatura varierà da punto a punto e in particolare dalla distanza dall'imbocco. Ma anche tutte le proprietà fisiche del fluido $\mu \,$, $c\,$, $\rho \,$ etc...) dipendendo dalla temperatura varieranno. Non si può quindi ottenere rigorosamente un profilo completamente sviluppato quando c'è scambio termico.

Quando tuttavia le differenze di temperatura in gioco sono piccole, è ragionevole ammettere che il profilo di velocità sia completamente sviluppato.

Si riprenda in considerazione il caso di:

• fluido isotermo a $t_{\infty }\,$
• parete del tubo a $t_{P}\,$ uniforme e costante

Si ha quindi trasmissione di calore fra parete e fluido. Nascerà e si svilupperà uno strato limite termico, che crescerà di spessore. Ad una certa distanza dall'imbocco lo strato limite avrà riempito tutta la sezione del condotto.

File:Capitolo3-FT-05.JPG

Si ha un profilo di temperatura che varia da punto a punto su tutta la sezione trasversale del condotto. Inoltre poiché il fluido, percorrendo il condotto, acquista o cede calore la temperatura varia anche con la distanza dall'imbocco.

Stante la variabilità della $t_{f}\,$ esiste il problema sul valore da attribuirgli. In particolare come calcolare:

$q^{\prime }=h(t_{P}-t_{f})\,$

Si risolve il problema ricorrendo ad una definizione convenzionale di $t_{f}\,$.

Definizione della temperatura convenzionale

Si abbia un dispositivo del tipo:

File:Capitolo3-FT-06.JPG

Si voglia conoscere il valore della temperatura in una sezione $A\,$ a distanza $s\,$ dall'imbocco. Appena il fluido ha oltrepassato $A\,$, le valvole vengono aperte e chiuse rapidamente in modo da far entrare una certa quantità di fluido in tazza.

Dopo un certo tempo la temperatura del fluido nella tazza adiabatica diventa uniforme (a causa del rimescolamento) ad un valore che viene chiamato temperatura media in tazza $t_{b}\,$ (bulk).

Analiticamente la si definisce come media pesata, con le portate in massa del fluido ed i calori specifici a pressione costante, delle temperature delle sezioni trasversali.

$t_{b}={\frac {\int _{A}^{}u\rho c_{P}t\,dA}{\int _{A}^{}u\rho c_{P}\,dA}}\,$

Andamento del coefficiente di convezione con la distanza $s\,$ dall'imbocco

La dipendenza di $h\,$ con $s\,$ è fortemente influenzata come già visto per il deflusso esterno, dal tipo di moto del fluido e quindi dal numero di Reynolds $Re\,$.

• $Re<2500\,$ - moto laminare

File:Capitolo3-FT-07.JPG

$h\,$ decresce all'aumentare di $\delta _{m}\,$

• $Re>2000\,$ - moto turbolento, imbocco raccordato

File:Capitolo3-FT-08.JPG

Si ha passaggio al moto turbolento prima della distanza di assetto.

• $Re>50000\,$ - moto turbolento, ingresso perturbato

File:Capitolo3-FT-09.JPG

Convezione naturale

Nella convezione naturale il moto del fluido è provocato dalla presenza di un campo di forze di massa che causa la disuniformità di densità del fluido stesso.

Le disuniformità di densità possono essere originate da:

• differenze di temperatura
• differenze di contenuto di vapor acqueo (in aria)
• differenze di concentrazione salina (in acqua)

Quando sono dovute a differenze di temperature queste ultime possono provenire da:

• contatto con superfici solide a temperatura differente da quella media del fluido
• assorbimento non uniforme da radiazione solare

Il caso che pero qui interessa è quello nel quale le disuniformità di temperatura siano dovute alla presenza di corpi con i quali il fluido scambi calore. Si considererà che il campo di forze di massa si riduca alla campo della forza peso.

Deflusso esterno

Anche qui, come nel caso della convezione forzata, avremo strati limite termico e meccanico, che potranno essere di natura laminare o turbolenta. Se la temperatura del fluido $t_{\infty }$ è minore della temperatura del corpo, al di sopra di questo si genera un moto ascendente del fluido caldo proveniente dallo strato limite termico.

Deflusso interno

Il deflusso interno in convezione naturale può avvenire all'interno di:

• condotti (come in convezione forzata)
• spazi completamente chiusi

Nel primo caso e:

• per condotti verticali o inclinati

A partire dell'imbocco dell'estremità inferiore, si forma uno strato limite il cui spessore va crescendo verso l'alto. Se il condotto è abbastanza lungo, lo strato limite può invadere l'intera sezione del condotto.

• per condotti orizzontali

In questo caso non si crea un moto d'insieme longitudinale. I moti convettivi si svolgono nelle sezioni trasversali, analogamente a ciò che avverrebbe se il condotto fosse chiuso.

Nel secondo caso i moti convettivi sono possibili ogni volta che si abbiano disuniformità delle temperature delle superfici delimitanti lo spazio stesso.

La disposizione geometrica e la distribuzione delle temperature di parete influenzano le configurazioni assunte dal fluido. Si chiamano moti convettivi ascendenti quelli dove le pareti cedono calore al fluido (gli strati più caldi di fluido, cioè quelli meno densi, salgono). Invece laddove il fluido viene raffredato si ha presenza di moti convettivi discendenti.