Sia a n = F n + 1 F n , {\displaystyle a_{n}={\frac {F_{n+1}}{F_{n}}},} dove F n {\displaystyle F_{n}} è l' n-esimo numero di Fibonacci
vogliamo dimostrare che lim n → ∞ a n = Φ = 1 + 5 2 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{a_{n}}=\Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}
Sappiamo che Φ {\displaystyle \Phi } è l'unica soluzione positiva dell'equazione x 2 − x − 1 = 0 {\displaystyle x^{2}-x-1=0}
notiamo che ∀ n ∈ N ⇒ 1 ≤ a n ≤ 2 {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \Rightarrow 1\leq a_{n}\leq 2} e a n = 1 + 1 a n − 1 {\displaystyle a_{n}=1+{\frac {1}{a_{n-1}}}}
