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Consideriamo un punto 'C' ed un punto materiale <math>P_{i}</math> a cui compete il vettore quantità di moto <math>m_{i}\vec{v_{i}}</math>. Il momento di <math>m_{i}\vec{v_{i}}</math> è per definizione il vettore:
{{eq|id=10|eq=::::<math>\vec{H_{i}}=\vec{CP_{i}}\wedge m_{i}\vec{v_{i}}</math>}}
Il momento risultante rispetto a 'C' è dato da:
{{eq|id=11|eq=::::<math>\sum{\vec{H_{i}}}=\sum{(\vec{CP_{i}}}\wedge m_{i}\vec{v_{i}})</math>}}
eseguiamo il derivato:
{{eq|id=12|eq=::::<math>{d\over dt}\sum{\vec{H_{i}}}=\sum_{}({d\over dt}\vec{CP_{i}}\wedge m_{i}\vec{v_{i}})+\sum(\vec{CP_{i}}\wedge {d\over dt} m_{i}\vec{v_{i}})</math>}}
Tenendo conto della relazione:
{{eq|id=13|eq=::::<math>\vec{CP_{i}}=\vec{OP_{i}}-\vec{OC}</math>
e derivando si ottiene:
{{eq|id=14|eq=::::<math>{d\over dt}\vec{OP_{i}}={d\over dt}\vec{OP_{i}}-{d\over dt}\vec{OC}=\vec{v_{i}}-\vec{v_{c}}</math>}}
che sostituite nell'espressione del momento della quantità di moto dà:
{{eq|id=15|eq=::::<math>{d\over dt}\sum{\vec{H_{i}}}=\sum{(\vec{v_{i}}-\vec{v_{c}})}\wedge m_{i}\vec{v_{i}}+\sum{\vec{CP_{i}}}\wedge{d\over dt}(m_{i}\vec{v_{i}})</math>}}
ma osservando che:
{{eq|id=16|eq=::::<math>\sum(\vec{v_{i}}-\vec{v_{c}})=\sum{v_{i}}\wedge m_{i}\vec{v_{i}}-\sum{\vec{v_{c}}}\wedge m_{i}\vec{v_{i}}</math>}}
e che il termine vettoriale:
{{eq|id=17|eq=::::<math>\sum{\vec{v_{i}}}\wedge m_{i}\vec{v_{i}}=0</math>}}
e che per il teorema del baricentro:
{{eq|id=18|eq=::::<math>\sum{m_{i}\vec{v_{i}}}=M\vec{v_{G}}</math>}}
otteniamo in definitiva:
{{eq|id=19|bg=#eOffff|bordo=1px silver|eq=::::<math>{d\over dt}\sum{\vec{H_{i}}}=\sum{\vec{CP_{i}}}\wedge\vec{F_{e}}-\vec{v_{c}}\wedge M\vec{v_{G}}</math>}}
E tenendo presente che <math>\sum{\vec{CP_{i}}}\wedge\vec{F_{e}}</math> è il momento delle forze esterne rispetto a 'C', possiamo scrivere:
{{eq|id=20|eq=::::<math>{d\over dt}\sum{\vec{H_{i}}}=\vec{M_{e}}-\vec{v_{c}}\wedge M\vec{v_{G}}</math>}}
È da notare che il termine <math>\vec{v_{c}}\wedge M\vec{v_{G}}</math> è zero solo se 'C' è fermo o è il baricentro, allora solo in questo caso possiamo scrivere semplicemente:
{{eq|id=21|bg=#eOffff|bordo=1px silver|eq=::::<math>{d\over dt}\sum{\vec{H_{i}}}=\vec{M_{e}}</math>}}
Concludendo che il vettore derivato del momento della quantità di moto è uguale al momento delle forze esterne rispetto al punto fisso o rispetto al baricentro.
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