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Meccanica razionale/Dinamica/Sistemi di punti: differenze tra le versioni

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Se consideriamo un sistema '''S''' di punti materiali, e sia <math>m_{i}</math> la massa e <math>\vec{v_{i}}</math> la velocità del generico punto <math>m_{i}</math>, l'equazione del moto per questo punto può esere scritta:
 
<div class=floatright>(6)</div>
::::<math>{d\over dt}(m_{i}\vec{v_{i}})=\vec{F_{e}}+\vec{F_{i}}</math>
 
Essendo <math>\vec{F_{e}}</math> la forza esterna applicata a questo punto mentre <math>\vec{F_{i}}</math> è il risultante di tutte le azioni che i punti circostanti esercitano sul punto considerato. Se scriviamo la precedente equazione per tutti i vari punti avremo '''n''' equazioni vettoriali che sommate si riducono alla unica
<div class=floatright>(7)</div>
 
::::<math>{d\over dt}(\sum{m_{i}}\vec{v_{i}})=\sum{\vec{F_{e}}}+\sum{\vec{F_{i}}}</math>
 
Questa equazione proiettata in tre assi dà le seguenti tre equazioni scalari:
 
<div class=floatright>(8)</div>
::::<math>{d\over dt}(\sum{m_{i}}\dot{x_{i}})=\sum{X_{i}}+\sum{X_{e}}</math>
::::<math>{d\over dt}(\sum{m_{i}}\dot{y_{i}})=\sum{Y_{i}}+\sum{Y_{e}}</math>
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Ma il risultante delle forze interne per il principio di azione e reazione è un sistema nullo, cioè <math>\sum{X_{i}}=\sum{y_{i}}=\sum{Z_{i}}=0</math>, in quanto le forze interne a due a due costituiscono dei sistemi nulli.
 
Allora le equazioni (38) divengono:
 
::::<math>{d\over dt}(\sum{m_{i}}\dot{x_{i}})=\sum{X_{e}}</math>
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Ricordando la definizione di baricentro di un sistema di masse cioè come quel punto '''G''' tale che le sue coordinate sono date dalle seguenti espressioni:
 
{{eq|id=5a|eq=::::<math>x_{G}=\frac{\sum{m_{i}x_{i}}}{\sum{m_{i}}}</math>}}
{{eq|id=5b|eq=::::<math>y_{G}=\frac{\sum{m_{i}y_{i}}}{\sum{m_{i}}}</math>}}
{{eq|id=5c|eq=::::<math>z_{G}=\frac{\sum{m_{i}}z_{i}}{\sum{m_{i}}}</math>}}
 
e considerando <math>\ m_{i}=cost</math>
 
{{eq|id=6a|eq=::::<math>(\sum_{}m_{i})\dot{x_{G}}=\sum_{}m_{i}\dot{x_{i}}</math>}}
{{eq|id=6b|eq=::::<math>(\sum_{}m_{i})\dot{y_{G}}=\sum_{}m_{i}\dot{y_{i}}</math>}}
{{eq|id=6c|eq=::::<math>(\sum_{}m_{i})\dot{z_{G}}=\sum_{}m_{i}\dot{z_{i}}</math>}}
 
E tenendo conto che la massa totale del sistema è data da <math>M=\sum{}m_{i}</math> si ottengono le tre seguenti equazioni
 
{{eq|id=7a|bg=#f9f9f9|bordo=1px silver|eq=::::<math>{d\over dt}(M\dot{x_{G}})=\sum_{}X_{e}</math>}}
{{eq|id=7b|bg=#f9f9f9|bordo=1px silver|eq=::::<math>{d\over dt}(M\dot{y_{G}})=\sum_{}Y_{e}</math>}}
{{eq|id=7c|bg=#f9f9f9|bordo=1px silver|eq=::::<math>{d\over dt}(M\dot{z_{G}})=\sum_{}Z_{e}</math>}}
 
da cui deriva il teorema fondamentale del baricentro. Cioè che il baricentro del sistema si muove come un punto materiale avente la massa totale <math>\ M</math> del sistema e su cui agisce una forza eguale alla somma vettoriale delle forze agenti su tutti i vari punti di massa.
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Concludendo possiamo dire che se <math>\ Q</math> è la quantità di moto totale del sistema dato da
 
{{eq|id=8|eq=::::<math>\vec{Q}=\sum_{i=1}^n m_{i}v_{i}</math>}}
 
il teorema della quantità di moto si esprime dicendo che il derivato delle quantità di moto è uguale al risultante delle sole forze esterne applicate al sistema, cioè
 
{{eq|id=9|bg=#f9f9f9|bordo=1px silver|eq=::::<math>{d\vec{Q}\over dt}=\vec{R_{e}}</math>}}
 
==Momento delle quantità di moto==
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