Analisi matematica/Esempi di integrali generalizzati: differenze tra le versioni

sistemate parentesi troppo piccole
(sistemate parentesi troppo piccole)
#<math>\qquad \int_{0}^1 {1+x\over \sqrt[2]{x}}dx,</math>
#:la funzione <math>\ y={1+x\over\sqrt[2]{x}}</math> ha un punto di infinito per <math>\ x=0</math> di ordine <math>{1\over 2}</math>, onde si ha:
#:::<math>\lim_{\delta\to 0} I(\delta)=\lim_{\delta\to 0}\int_{\delta}^{1}{1+x\over \sqrt[2]{x}}dx=\lim_{\delta\to 0}\left(2\sqrt[2]{x}+{2\over 3}\sqrt[2]{x^3}\right)_{\delta}^{1}={8\over 3}</math>
#<math>\int\int_c {dx dy\over \sqrt[2]{x+y}},</math>
#:essendo <math>\ \Omega</math> un quadrato di lato <math>\ 1</math> con un vertice nell'origine e due lati sugli assi. La funzione <math>\ {1\over x+y}</math> ha un punto di infinito nell'origine. Si ha quindi:
#::<math>\lim_{c\to 0}\int \int _{\Omega-\omega}^{}{dxdy\over\sqrt[2]{x+y}}=\lim_{c\to 0 }\left[\int\int_{\Omega_1}{}{dxdy\over \sqrt[2]{x+y}}+2\int\int_{\Omega_2}^{}{dxdy\over \sqrt[2]{x+y}}\right],</math>
#:dove <math>\ \omega</math> è un quadratino di lato <math>\ c</math> con un vertice nell'origine , <math>\ \Omega_1, \Omega_2, \Omega_3</math> le parti in cui è diviso <math>\ Omega</math> dalle parallele agli assi per i punti <math>\ (c,0), (0,c).</math>
#::Eseguendo i calcoli si trova:
#:<math>\lim_{c\to 0}\int_{c}^{1}dy\int_{c}^{1}{dx\over \sqrt [2]{x+y}}+2\int_{0}^{c}dy\int_{c}^{1}{dx\over \sqrt[2]{x+y=}}={8\over 3}\left(\sqrt[2]{2}-1\right)</math>
#<math>\int _{a}^{\infty}{dx\over x^2}</math>
#:La funzione <math>\ y={1\over y^2}</math> per <math>\ {x\to \infty}</math> è infinitesima di ordine 2.
#:si ha:
#:<math>\lim_{m\to \infty}\int_{a}^{m}{1\over x^2} dx=\lim_{m\to \infty}\left(-{1\over x}\right)_{a}^{m}=\lim_{m\to \infty}\left(-{1\over m}+{1\over a}\right)={1\over a}</math>.
#<math>\int_{\Omega}^{}{dxdy\over (1+x^2)(1+y^2)}</math>
#:essendo <math>\ \Omega</math> il primo quadrato cartesiano. Allora si ha: