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Elementi di Euclide/Libro I-Teoremi 9-16: differenze tra le versioni

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Siamo di nuovo di fronte ad un teorema che garantisce la bontà di una costruzione (come neigià i teoremi 1, 2 e 3). Questa volta si tratta di dividere a metà (bisecare) un angolo qualsiasi, chiamiamolo ABC.
 
A questo proposito Euclide scrive:
Tale angolo ha il vertice in B ed è quindi delimitato dai due segmenti AB e BC. Su tali segmenti (di lunghezza qualsiasi e non necessariamente congruenti fra loro) è sempre possibile individuare due punti che taglino i segmenti originali in due segmenti uguali. Perciò io taglierò le due linee AB e BC (che contengono l'angolo ABC) in modo che vengano individuati i segmenti BD e BE (per la terza propositione [[Elementi_di_Euclide/Libro_I-Teoremi_1-8#Teorema_3|Teorema 3]]) fra loro equale, & si produrò la linea .d.e. sopra laquale, costituerò il triangolo .d.f.e. equilatero (per la prima propositione) et tirarò la linea .b.f. hor dico che quella diuide il detto angolo dato in due parti equale, & per dimostrar questo: io intendo li duoi triangoli .d.b.f. & .e.b.f. & perche li dui lati .b.d. & .b.f. del triangolo .d.b.f. sono equali alli duoi lati b.e. & .b.f. del triangolo .e.b.f. e la basa .d.f. alla basa .e.f. adonque (per la precedente) l'angolo .d.b.f. è equale all'angolo .e.b.f. che è il proposito.
:"Fissiamo un angolo che abbia il vertice in B e sia delimitato dai due segmenti AB e BC. Su tali segmenti, di lunghezza qualsiasi e non necessariamente congruenti fra loro, è sempre possibile individuare due punti che taglino i segmenti originali in due segmenti uguali (vedi il [[Elementi_di_Euclide/Libro_I-Teoremi_1-8#Teorema_3|Teorema 3]]). Perciò io taglierò le due linee AB e BC (che contengono l'angolo ABC) in modo che vengano individuati i segmenti BD e BE fra loro uguali. Fatto questo traccerò la linea DE sulla quale costruirò il triangolo equilatero DEF (per il [[Elementi_di_Euclide/Libro_I-Teoremi_1-8#Teorema_1|Teorema 1]]) e quindi traccerò il segmento BF che, lo sostengo, divide l'angolo dato (ABC) in due parti uguali.
 
:Per dimostrare questo fatto prendo in considerazione i due triangoli DBF e EBF: in essi i due lati BD e BF del triangolo DBF sono rispettivamente uguali ai due lati BE e BF del triangolo EBF; inoltre la base DF è uguale alla base EF (per costruzione) cosicché, per il precedente [[Elementi_di_Euclide/Libro_I-Teoremi_1-8#Teorema_8|Teorema 8]], l'angolo DBF è uguale all'angolo EBF, che è proprio quello che volevo dimostrare."
Sia el dato angolo che bisogna diuidere: l'angolo .a.b.c. io tagliarò dalle due linee .a.b. & .b.c. (che contengono il detto angolo) le due .b.d. & .d.e. (per la terza propositione) [pag. 24r] fra loro equale, & si produrò la linea .d.e. sopra laquale, costituerò il triangolo .d.f.e. equilatero (per la prima propositione) et tirarò la linea .b.f. hor dico che quella diuide il detto angolo dato in due parti equale, & per dimostrar questo: io intendo li duoi triangoli .d.b.f. & .e.b.f. & perche li dui lati .b.d. & .b.f. del triangolo .d.b.f. sono equali alli duoi lati b.e. & .b.f. del triangolo .e.b.f. e la basa .d.f. alla basa .e.f. adonque (per la precedente) l'angolo .d.b.f. è
equale all'angolo .e.b.f. che è il proposito.
 
Il Tradottore.
In questa si come nella prima, bisogna notar che per diuidere simplicemente il detto angolo .a.b.c. in due parti equali, cioè non uolendo far la demostration di tal operare non è necessario a disignare il triangolo .d.f.e. & manco a tirare la linea .d.e. ma basta solamente a trouar il ponto .f. per mezzo della intersecatione delle circonferentie di dui cerchi (come sopra la prima proposition fu detto) & dapoi tirare la linea .b. & serà esequido tal problema, & cosi aduertirai nelle altre che seguitano, perche molte cose se fa per poter far la demostratione.
Per un immagine interattiva [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propI9.html]
 
Nota. Bisecare un angolo con gli strumenti previsti dai postulati di Euclide (riga e compasso) non è difficile, come si è visto. E' risultato invece impossibile, nell'ambito della geometria euclidea, trisecare un angolo qualsiasi: intere generazioni di geometri si sono appassionati al problema e dopo aver raccolto la sfida, hanno speso molti anni della loro vita nel vano sforzo di riuscire in questo compito apparentemente banale. Tutt'oggi, malgrado nel 1837 Pierre Laurent Wantzel abbia dimostrato l'impossibilità di tale costruzione, alcuni geometri dilettanti provano a trisecare gli angoli con riga e compasso. Ovviamente non ci riescono: altrimenti a cosa servirebbe produrre una dimostrazione?
 
Per approfondimenti, vedi la Trisezione dell'angolo [http://it.wikipedia.org/wiki/Trisezione_dell'angolo]
 
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