Calcolo differenziale/Funzioni su R - ordini successivi: differenze tra le versioni

 

L'incremento della funzione ''f'' in un intorno del punto <math>x_0</math> relativo ad un incremento <math>\Delta x</math> dell'argomento, cioè <math>\Delta f(x_0, \Delta x)</math>, descrive la variazione della funzione quando si tenga fisso il punto <math>x_0</math> e si faccia variare l'argomento della funzione <math>x = x_0 + \Delta x</math> in un suo intorno. Un problema affatto diverso si pone se si vuole incrementare di un valore <math>\Delta x'</math> la posizione del punto <math>x_0</math> spostando il punto fisso in <math>x'_0 = x_0 + \Delta x'</math>, per poi far variare l'argomento della funzione in un intorno di questo punto, in modo tale che sia <math>x = x'_0 + \Delta x = x_0 + \Delta x' + \Delta x</math>. Questo comporta una stima dell'incremento <math>\Delta f(x_0 + \Delta x', \Delta x)</math>, la cui parte lineare in <math>\Delta x</math> è per definizione il differenziale della funzione nel punto <math>x'_0 = x_0 + \Delta x'</math>:

:<math>D^2f := D(Df) \;</math>

:<math>d(df) := d^2f \;</math>

 

Con queste notazioni si ha:

:<math>d^2f(x_0)(\Delta x')(\Delta x) := d^2f(x_0)(\Delta x, \Delta x') \;</math>

 

 

Il differenziale tout court, che si può anche definire differenziale primo, coincide per definizione con la parte lineare dell'incremento della funzione. A partire dal differenziale primo si può poi calcolare il differenziale secondo come pure quelli successivi, e allo stesso tempo i termini successivi dello sviluppo dell'incremento restano definiti dallo sviluppo asintotico. Dal momento che si dispone già di due definizioni indipendenti per il differenziale secondo e per il secondo termine dello sviluppo asintotico dell'incremento della funzione, in questo caso non si può imporre alcuna relazione per definizione, ma occorre andare a vedere se eventualmente tali relazioni vi siano. A questo scopo si può supporre che la funzione e quindi il suo incremento siano sviluppabili fino al termine quadratico sia in <math>x_0</math> sia in <math>x_0 + \Delta x'</math>.

</div>

 

 

Il differenziale di ordine ''k'' calcolato nel punto <math>x_0</math> è una funzione ''k''-lineare nei suoi argomenti <math>(\Delta x_1,\cdots,\Delta x_k) \in R^k</math> e tale che come funzione lineare del suo ''k''-mo argomento esso risulti pari alla parte lineare della variazione del differenziale (''k''-1)-mo rispetto ad una variazione del suo punto di applicazione:

</div>

 

 

In genere se la funzione ''f'' può essere sviluppata fino al grado ''n''-mo in un intorno di <math>x_0</math>:

</div>

 

 

Poiché il differenziale ''k''-mo è una funzione ''k''-lineare definita su <math>\R^k</math> in una relazione funzionale dovranno comparire dei funzionali ''k''-lineari su <math>\R^k</math>. Dal momento che d''x'' coincide con l'identità su <math>\R</math>, il [[w:Prodotto tensoriale|prodotto tensoriale]] di d''x'' con se stesso per k volte è una funzione k-lineare tale che: