Differenze tra le versioni di "Calcolo differenziale/Funzioni su spazi vettoriali"

Mentre D''f'' per una funzione scalare è un campo vettoriale (il gradiente di ''f''), per una funzione vettoriale D'''f''' è un campo operatoriale, che viene chiamato '''jacobiano''' di '''f''' e indicato con <math>J_{\mathbf f}</math> o con <math>J\mathbf f</math>. In questo caso un operatore che agisca sulla funzione vettoriale '''f''' restituendo D'''f''' è un operatore che trasforma un campo vettoriale in un campo operatoriale. Tale operatore non può essere ancora l'operatore gradiente, anche perché non è chiaro come si potrebbe riscrivere D'''f''' come "prodotto" di un operatore vettoriale per una funzione vettoriale.
 
Tuttavia possiamo superare questo problema osservando che il differenziale e la derivata parziale sono formalmente due operatori "scalari", che si ottengono come prodotto scalare dell'operatore <math>\nabla</math> con, rispettivamente, il differenziale d'''x''' e il vettore '''v''', sicché ci si può aspettare che essi abbiano effettivamente le proprietà di uno scalare, e possano essere formalmente "moltiplicati" sia per uno scalare sia per un vettore. Per rendersi conto che vale effettivamente questa proprietà, basta osservare che dato un generico vettore <math>\mathbf c</math> (costante) si ha:
Per rendersene conto basta osservare che dato un generico vettore <math>\mathbf c</math> (costante) si ha:
:<math><\mathbf c, d \mathbf f(\mathbf x_0)> = <\mathbf c, D\mathbf f(\mathbf x_0) d \mathbf x> =
<\mathbf c^T D\mathbf f(\mathbf x_0), d \mathbf x>
:<math>d \mathbf f = <d \mathbf x,\nabla>\mathbf f</math>
 
e lo stesso si ottiene per lela derivata direzionale:
:<math>D_{\hat \mathbf v}\mathbf f = <\hat \mathbf v, \nabla>\mathbf f</math>