Differenze tra le versioni di "Calcolo differenziale/Funzioni su spazi vettoriali - ordini successivi"

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==Sviluppo in serie==
 
===Sviluppo in terminiTermini multilineari===
 
La generalizzazione dello sviluppo in serie di potenze a funzioni definite su spazi vettoriali è uno sviluppo in una serie di funzioni ''k''-lineari simmetriche avente come argomento la ''k''-pla <math>(\underbrace{\Delta \mathbf x, \cdots, \Delta \mathbf x}_k)</math>:
</div>
 
===SviluppoRelazioni nellefra i termini dello sviluppo e le derivate===
 
Lo sviluppo in serie della funzione <math>f \circ \mathbf h</math> e della funzione <math>\mathbf f \circ \mathbf h</math>, essendo queste definite su ''K'', si fa in termini di derivate ordinarie nell'argomento scalare <math>\Delta v</math>:
 
Dal confronto si vede che:
<div style="float:center; width:85%; padding:15px; background: white; border: 1px solid blue;
margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">
;funzioni scalari
:<math>D_{\hat \mathbf v}^k f(\mathbf x_0) = k! <A^k(\mathbf x_0), \hat \mathbf v^{\otimes k}></math>
;funzioni vettoriali
:<math>D_{\hat \mathbf v}^k \mathbf f(\mathbf x_0) = k! \, \mathbf A^k (\mathbf x_0) \hat \mathbf v^{\otimes k}</math>
</div>
 
d'altra parte si ha anche:
 
da cui segue che
<div style="float:center; width:85%; padding:15px; background: white; border: 1px solid blue;
margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">
;funzioni scalari
:<math>D^kf(\mathbf x_0) = k! \, A^k(\mathbf x_0) \;</math>
;funzioni vettoriali
:<math>D^k\mathbf f(\mathbf x_0) = k! \, \mathbf A^k(\mathbf x_0) \;</math>
</div>
 
===Relazione fra i termini dello sviluppo e ili differenzialedifferenziali===
 
AnalogamenteEssendo a quanto si è fattole conderivate i termini"coefficienti" del prim'ordinedifferenziale, sila dimostrarelazione chefra il differenziale ''k''-mo, quandoe calcolatoil sulla''k''-mo "diagonale"termine <math>(\underbrace{\Deltadello \mathbfsviluppo x,è \cdots,analoga \Deltaa \mathbfquella x}_k)</math>,che èintercorre parifra ala menok-ma diderivata une fattoreil "coefficiente" del ''k''! al k-mo termine dello sviluppo della funzione:
<div style="float:center; width:85%; padding:15px; background: white; border: 1px solid blue;
margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">
</div>
 
DaUsando questel'operatore relazionidifferenziale seguono<math>d^k=<d\mathbf immediatamentex, le\nabla></math> relazionirisulta analogheparticolarmente fra la derivata ''k''-maagevole eesprimere il ''k''-mo termine dello sviluppo della funzione:
<div style="float:center; width:85%; padding:15px; background: white; border: 1px solid blue;
margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">
;funzioni scalari
:<math>D^kf(\mathbf x_0) = k! \, A^k(\mathbf x_0) \;</math>
;funzioni vettoriali
:<math>D^k\mathbf f(\mathbf x_0) = k! \, \mathbf A^k(\mathbf x_0) \;</math>
</div>
 
Usando l'operatore differenziale risulta particolarmente agevole esprimere il ''k''-mo termine dello sviluppo della funzione:
<div style="float:center; width:85%; padding:15px; background: white; border: 1px solid blue;
margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">